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Beweise, dass es ein Körper ist

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: kommutativer Ring, Körper

Zera1212 aktiv_icon

17:26 Uhr, 15.10.2019

Guten Abend,
ich bräuchte Hilfe bei der unterstehenden Aufgabe. Die Hinrichtung konnte ich schon zeigen, indem ich über Inverse gearbeitet habe. Bei der Rückrichtung des Beweises sollte ich über einen Nullteiler gehen. Hierfür habe ich aber gar keinen Ansatz. Könnte mir vielleicht einer helfen oder einen Tipp geben?!
Vielen Dank im Voraus!

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

ermanus aktiv_icon

17:41 Uhr, 15.10.2019

Hallo,
mache dir Gedanken über

(b, 1)

und

(b, ?)

.
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

18:06 Uhr, 15.10.2019

Hallo,

> Die Hinrichtung konnte ich schon zeigen [...]

Heißt: Die Körpereigenschaft nachzuweisen ist dir gelungen?

> Bei der Rückrichtung des Beweises sollte ich über einen Nullteiler gehen.

Ja, das schreit förmlich danach.

Bedenke, dass

(x, y)

angesehen werden kann als

x + y \sqrt{a}

.
Stelle dir jetzt als Voraussetzung vor, es gäbe ein

b \in K

mit

b^{2} = a

, und bedenke weiterhin, dass

K

eingebettet ist in

K^{2}

, indem ich

k \in K

auffasse als

(k, 0)

.
(Rechne nach, dass die Addition und die Multiplikation dann mit der auf

K

identisch sind!)
Mit der Voraussetzung, dass es ein

b \in K

gibt, für das

b^{2} = a

gilt, folgt quasi

b " = " (b, 0) " = " \sqrt{a} " = " (0, 1)

.

So, nun zum Nullteiler:

(0, 1)^{2} = (a, 0) = (b^{2}, 0) = (b, 0)^{2}

, d.h. es gilt

0 = (0, 1)^{2} - (b, 0)^{2} = [(0, 1) - (b, 0)] \cdot [(0, 1) + (b, 0)] = (b, 1) \cdot (- b, 1)

Sicher ist aber weder

(b, 1) = (0, 0)

noch

(- b, 1) = (0, 0)

.

Du musst nur die Gleichung

(0, 0) = (b, 1) \cdot (- b, 1)

nachrechnen und die beidne oben genannten Ungleichungen nachweisen um

(b, 1)

als Nullteiler zu identifizieren.
Sicher ist euch bekannt, dass Körper insbesondere nullteilerfrei sind.

Alles klar soweit?

Kannst du mal deine Lösung für "

\Rightarrow

" hier einstellen?
Ich frage, weil mich stutzig macht, dass du mit "

\Rightarrow

" kein Problem gehabt zu haben scheinst, das einfachere "

\Leftarrow

" aber problematisch war.

Mfg Michael

Zera1212 aktiv_icon

18:26 Uhr, 15.10.2019

Also ich hab das, vielleicht hab ich dann doch auch die Rückrichtung gezeigt. Stehe dabei etwas auf dem Schlauch. Vielleicht hab das ja auch falsch gemacht.

Danke schonmal für die Hilfe!

Zera1212 aktiv_icon

18:27 Uhr, 15.10.2019

Also ich hab das, vielleicht hab ich dann doch auch die Rückrichtung gezeigt. Stehe dabei etwas auf dem Schlauch. Vielleicht hab das ja auch falsch gemacht.

Danke schonmal für die Hilfe!

michaL aktiv_icon

20:41 Uhr, 15.10.2019

Hallo,

ich ahnte es schon.
Dein Beweis von welcher Richtung auch immer enthält zumindest den Fehler, dass du durch

y

teilst.
Das muss nicht gehen. Insbesondere für alle Elemente

(x, 0)

geht das schonmal nicht.

Ok, machen wir es wie folgt:
Die Richtung "

b^{2} = a

für ein

b \in K \Rightarrow K^{2}

kein Körper" (da nicht nullteilerfrei) hatten wir schon.

Nun versuchen wir es umgekehrt: Wenn

b^{2} \neq a \forall b \in K

gilt, dann ist

K^{2}

ein Körper.

Wir gehen also davon aus, dass die Gleichung

x^{2} = a

K

KEINE Lösung hat.
Das einzige, was wir nachzuweisen haben, ist die Existenz der Inversen.
Dazu sei

(x, y) " = " x + y \sqrt{a} \neq 0 " = " (0, 0)

.
Um ein Inverses zu bekommen, erinnere man sich an die dritte binomische Formel:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Insofern erscheint es sinnvoll, das hergenommene Element

(x, y) " = " x + y \sqrt{a}

mit

(x, - y) " = " x - y \sqrt{a}

zu erweitern, sodass sich (und jetzt kommt's)

x^{2} - a y^{2} \in K

ergibt. Da das Produkt in

K

liegt und

K

ein Körper ist, kann man ja hoffen, dass

x^{2} - a y^{2} \neq 0

ist.

Es stellt sich also die Frage, wann

x^{2} = a y^{2}

gilt.
Da

(x, y) \neq (0, 0)

(Vss), gehen wir erst einmal von

y \neq 0

aus. Dann existiert

y^{- 1}

und aus

x^{2} = a y^{2}

wird

{(\frac{x}{y})}^{2} = a

.
Dann wäre aber

\frac{x}{y}

eine Lösung der Gleichung

x^{2} = a

, die es nach Voraussetzung nicht gibt.

Falls noch

y = 0 \Rightarrow x^{2} = a \cdot 0^{2} = 0 \Rightarrow x = 0

mit Widerspruch zu

(x, y) \neq (0, 0)

.

Wir erkennen also, dass für alle Elemente

(x, y) \neq (0, 0)

die Multiplkation mit

(x, - y)

stets ungleich Null UND ein Element von

K

ist.
Damit ist das zu

(x, y) \neq (0, 0)

gesuchte Inverse also

(x^{2} - a y^{2})^{- 1} (x, - y)

(wobei

.^{- 1}

als Inverses in

K

verstanden werden soll).

Soweit alles klar?

Mfg Michael

Zera1212 aktiv_icon

14:34 Uhr, 16.10.2019

Das ist mir gar nicht aufgefallen, aber logisch, dass es dann nicht klappen kann.
Vielen lieben Dank!
Ich arbeite das gleich mal durch und melde mich, wenn ich wo festhänge.

Zera1212 aktiv_icon

19:09 Uhr, 16.10.2019

Konnte alles gut nachvollziehen. Das einzige, bei dem ich noch hängen geblieben bin, ist warum ist

(b,1)

der Nullteiler und nicht

(- b,1)

oder würde das auch funktionieren. Hab in meinem Studium leider wenig mit Nullteilern gearbeitet.

MfG

michaL aktiv_icon

20:21 Uhr, 16.10.2019

Hallo,

de facto sind beide Nullteiler, wie man aus der Definition von Nullteilern klar wird.

Mfg Michael

Zera1212 aktiv_icon

21:00 Uhr, 16.10.2019

Super vielen lieben Dank!

MfG

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