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Beweise für Trapez und Parallelogramm

Universität / Fachhochschule

Tags: Parallelogramm, Trapez

Mathestud1 aktiv_icon

15:09 Uhr, 07.04.2021

Hi,

ich habe zwei Fragen mitgebracht, welche ich beide nicht final gelöst bekomme:

1) Wir betrachten Trapeze ABCD. Dabei soll die Strecke AB parallel zu CD sein, die
Winkel BAD und ADC sollen rechte Winkel sein und für die Länge von BC gilt, dass
sie gleich der Summe der Längen von AB und CD ist.
a) Bestimmen Sie die Länge von AD, wenn |AB| = 9 cm und |CD| = 4 cm gilt.
b) Beweisen Sie, dass der Flächeninhalt des Trapezes ABCD gleich |MC| · |MB|
ist, wobei M der Mittelpunkt der Strecke AD ist.

2) ABCD ist ein Parallelogramm, wobei das Dreieck ABD spitzwinklig ist. Die Höhenschnittpunkte der Dreiecke BCD, CDA, DAB und ABC nennen wir mit A′, B′, C′ und D′.
a) Beweisen Sie, dass das Viereck A′B′C′D′ ein Parallelogramm ist.
b) Beweisen Sie, dass die Vierecke ABCD und A′B′C′D′ den gleichen Flächeninhalt haben.

zur Nummer 1:
die a) ist einfach mit Pythagoras zu lösen und am Ende kommt eine Länge von 12cm für die Strecke AD heraus
bei der b) komme ich am Ende nicht ganz weiter:
Allgemein ist der Flächeninhalt eines Trapezes ja

m * h

, wobei das hier

A D * (D C + 0, 5 * (A B - D C))

entspricht
|MC| · |MB| ist andererseits die Wurzel von

0, 25 * (A D)^{4} + 0, 5 * (A D)^{2} (A B)^{2} + 0, 5 * (A D)^{2} (D C)^{2} + (A B)^{2} * (D C)^{2}

wenn ich mich nicht vertan hab.
Um die Wurzel hier zu entfernen, kann ich ja einfach das Produkt von |

M C^{2}

| · |

M B^{2}

| betrachten, aber dann komme ich beim Gleichstellen nicht richtig weiter.

zur Nummer 2: hier bekomme ich gar keinen richtigen Ansatz hin...
Habe aber den Tipp, dass man in irgendeiner Form die Punktsymmetrie benutzen kann.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Raute / Drachenviereck / Trapez

ledum aktiv_icon

15:37 Uhr, 07.04.2021

Hallo
1. zeige dass Mc und MB senkrecht sind. dann benutze mein Bild mit dem doppelten Trapez.
Gruß ledum

Mathestud1 aktiv_icon

22:23 Uhr, 07.04.2021

Deine Zeichnung sieht ja echt super aus, danke für die Mühe bis jetzt schon mal :-)

zu Aufgabe 1:

Leider bin ich aktuell etwas aus der Thematik raus, aber könnte man das evtl. über das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren zeigen?
Also MC entspricht ja dem Vektor (4,6) und MB dem Vektor (9,-6), wobei das Skalarprodukt dementsprechend 0 ist und die Strecken sind senkrecht zueianander??

MC*MB entspricht dann in deinem Bild ja dem Flächeninhalt des inneren Rechtecks, leider stehe ich hier aber noch immer auf dem Schlauch, wie ich dieses nun mit dem ursprünglichen Rechteck verbinden kann?

Respon

00:26 Uhr, 08.04.2021

1)

Der Flächeninhalt des grünen Rechtecks ist der doppelte Flächeninhalt des Trapezes.
Interpretiere nun die Zeichnung

. .

.

ad

2)

Sei

M

der Schnittpunkt der Diagonalen des ursprünglichen Parallogramms.
Dann gilt:
Spiegle ich das Dreieck

Δ D A B

mit dem Höhenschnittpunkt

C'

M

so erhalte ich das Dreieck

Δ B C D

mit dem Höhenschnittpunkt

A'

\Rightarrow

\bar{C' A'}

geht durch den Punkt

M

und wird von ihm halbiert.

Spiegle ich das Dreieck

Δ A B C

mit dem Höhenschnittpunkt

D'

M

so erhalte ich das Dreieck

Δ C D A

mit dem Höhenschnittpunkt

B'

\Rightarrow

\bar{D' B'}

geht durch den Punkt

M

und wird von ihm halbiert.

\Rightarrow

\bar{C' A'}

und

\bar{D' B'}

sind die Diagonalen eines Parallogramms

A' B' C' D'

mit dem Diagonalenschnittpunkt M.

Mathestud1 aktiv_icon

10:07 Uhr, 08.04.2021

zu Nummer 1:

hier besitzt das große Rechteck den doppelten Flächeninhalt, da gilt: k*h ist die Fläche des Parallelogramms und das große Rechteck hat dann den Inhalt 2*k*h= (h+l)*k, soweit so gut.

Mir erschließt sich jetzt aber leider immer noch nicht der genaue Zusammenhang mit MC*MB, irgendetwas übersehe ich da...

zu Nummer 2:
habe mir jetzt auch mal eine Skizze gemacht, und auch gesehen, dass der Schnittpunkt der Diagonalen M beider Parallelogramme gleich ist und die einzelnen Dreicke jeweils an ihm punktweise spiegelbar sind!
Erstmal muss ich jetzt beweisen, wieso das neue Rechteck überhaupt ein Parallelogramm ist, davon bist du ja jetzt irgendwie einfach ausgegangen, oder?

Mathe45

10:18 Uhr, 08.04.2021

2)

Die neu entstandenen Diagonalen halbieren einander in

M,

daher MUSS es ein Parallogramm sein ( siehe "Eigenschaften des Parallogramms" )

ad

1)

Man kann doch in der Zeichnung deutlich erkennen, dass das rote Rechteck genau die Hälfte des grünen Rechtecks ist. Und da der Flächeninhalt des grünen Rechtecks das Doppelte des Trapezes ist

. .

Mathe45

10:31 Uhr, 08.04.2021

Aber offensichtlich besteht kein Interesse mehr an einer Lösung

. .

Mathestud1 aktiv_icon

12:21 Uhr, 08.04.2021

Natürlich besteht noch weiter Interesse an der Aufgabe, habe lediglich nicht immer Zeit um direkt zu antworten :-)

zu Aufgabe 1:
also um nochmal die Argumentationskette nachzuvollziehen:
MC*MB ist der Flächeninhalt des kleineren, inneliegenden Rechtecks das ist klar.
Auf der Skizze ist dann erkennbar, dass dieses die Hälfte der Fläche des großen, umgebenden Rechtecks ausmacht
Und da für den Inhalt des Trapezes gilt: k*h, ist dieses halb so groß wie das umgebende Rechteck (mit k*(h+l))und somit gleich MC*MB.

Das einzige was mir jetzt noch fehlt, wäre eine formelle Begründung, warum das inneliegende Rechteckk halb so groß ist, wie das äußere, bisher könnte ich das nur mithilfe der Skizze erklären?

zu Aufgabe 2:
die a) wäre damit gelöst, ich merke einfach, dass ich etwas aus dem Thema raus bin :-)
zur b): Der Inhalt des ursprünglichen Parallelogramms ist ja mit Grundseite*Höhe zu berechnen, wobei die Grundseite AB oder DC wäre. Aber wie kommt man jetzt hier auf die Höhe, bzw. könnte man die Diagonalen evtl. mit in die Berechnungen mit einbeziehen?

Respon

12:33 Uhr, 08.04.2021

Du hast ja die Maßzahlen !

A_{T r a p e z} = \frac{(9 + 4) \cdot 12}{2} = 78

Rechteckseiten mit PL nestimmen.

a = \sqrt{52}

b = \sqrt{117}

a \cdot b = \sqrt{52 \cdot 117} = \sqrt{6084} = 78

Mathestud1 aktiv_icon

13:11 Uhr, 08.04.2021

Aber die Aufgabe besteht ja darin, die Behauptung im ALLGEMEINEN zu zeigen. Und dies hatte ich ja anfangs schon so ähnlich mit den einzelnen Variablen versucht,wobei ich beim Gleichstellen der beiden Rechnungen aber nicht weiterkam...?

Respon

13:13 Uhr, 08.04.2021

1)

Hier sind konkrete Zahlen vorgegeben !

Mathestud1 aktiv_icon

13:29 Uhr, 08.04.2021

Die Zahlen sind aber leider nur bei Teilaufgabe a) angegeben, bei Teilaufgabe b) muss ich die Behauptung im Allgemeinen ohne Zahlen lösen

Respon

13:33 Uhr, 08.04.2021

Wenn du es allgemein haben willst

. .

.
Seiten des Trapezes

: a, b, c,

und es gilt

b = a + c

\Rightarrow

h = \sqrt{{(a + c)}^{2} - {(a - c)}^{2}} = 2 \cdot \sqrt{a \cdot c}

A_{T r a p e z} = \frac{(a + c) \cdot 2 \cdot \sqrt{a \cdot c}}{2} = (a + c) \cdot \sqrt{a \cdot c}

{(\frac{h}{2})}^{2} = a \cdot c

Seiten des Rechtecks

(a_{1}

und

b_{1})

a_{1} = \sqrt{c^{2} + a \cdot c}

b_{1} = \sqrt{a^{2} + a \cdot c}

a_{1} \cdot b_{1} = \sqrt{c^{2} + a \cdot c} \cdot \sqrt{a^{2} + a \cdot c} = \sqrt{c} \cdot \sqrt{a + c} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a + c} = (a + c) \cdot \sqrt{a \cdot c}

Respon

16:30 Uhr, 08.04.2021

Und ?
Alles klar ?

Mathestud1 aktiv_icon

22:44 Uhr, 08.04.2021

Entschuldige, hatte heute Nachmittag noch eine wichtige Prüfung in meinem Zweitfach und war daher nicht so ganz auf Mahte fokussiert :-)

Vielen Dank für deine Antwort, konnte diese nun auch auf die Vorgaben für unsere Form der Seitenbenennung übertragen und habe sie auch nachvollziehen können.
Allerdings finde ich es schon schwer auf derlei Umformungen einfach so zu kommen...

Dann fehlt mir ja nur noch die Aufgabe 2 b) :-)

Mathestud1 aktiv_icon

12:20 Uhr, 10.04.2021

Könnte mir denn noch jemand bei der 2b helfen, das wäre absolut klasse :-)

Habe mir das Ganze nochmals auf einem Blatt skizziert, allerdings komme ich bei der Flächeninhaltfrage damit leider auch nicht weiter ;/

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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