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Beweise oder widerlege abelsche Gruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: abelsche Gruppe, Gruppen

dreamerkid aktiv_icon

12:04 Uhr, 05.07.2010

Halli Hallo,

ich bin gerade beim lernene bei einer Aufgabe hängen geblieben

und zwar folgende Aufgabe :

Beweise oder widerlege:

$(R^{*}, \circ)$ mit $x \circ y : = 2 x y$

ist eine abelsche Gruppe

Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

vulpi aktiv_icon

13:29 Uhr, 05.07.2010

Hi,
Du mußt die Bedingungen bzw. Axiome, die eine abelsche Gruppe definieren,
abklopfen.
Ist ein Axiom widerlegt, kannste auch schon aufhören, Falsifikation fertig.
Zur Verifikation mußt du die Richtigkeit ALLER Axiome zeigen.(5 Stück)

P . S . :

Was genau ist

ℝ^{\cdot}

dreamerkid aktiv_icon

22:05 Uhr, 05.07.2010

Aha, danke für den Hinweis schon mal, könntest du mir vielleicht einmal

zeigen, wie das in diesem Fall dann aussehen würde ? Ich weiss das diese

bestimmten Axiome erfüllt sein müssen, aber nicht genau wie ich das jetzt

auf dieses Beispiel anwende.

Lieben Dank :)

vulpi aktiv_icon

15:28 Uhr, 06.07.2010

Hello, again :-)

Ich weiß immer noch nicht, was mit dem Sternchen

ℝ^{\cdot}

gemeint ist.

Also exemplarisch:

A 1 :

Abgeschlossenheit

\forall x, y \in ℝ^{\cdot} :

x°y

\in ℝ^{\cdot}

Also fürs "normale"

ℝ

wär's trivialer weise mit

x, y \in ℝ \Rightarrow (2 \cdot x \cdot y) \in ℝ

gezeigt,
Für positive

ℝ^{+}

wär's mit

x > 0, y > 0 \Rightarrow 2 x y > 0 \Rightarrow

(x°y)

\in ℝ^{+}

gezeigt,
aber was ist

ℝ^{\cdot}

?

mfg

dreamerkid aktiv_icon

18:51 Uhr, 06.07.2010

ich glaube mit dem R stern (R*) sind alle reelen Zahlen ohne null gemeint .

hagman aktiv_icon

19:15 Uhr, 06.07.2010

Es geht auch einfacher, als alle Axiome durchzutesten:
Betrachte die bijektive Abbildung

f : ℝ^{⋆} \to ℝ^{⋆}, x \mapsto 2 x

.
Dann gilt

f (x) \cdot f (y) = 4 x y = f (2 x y) = f (x \circ y)

.
Es folgt so direkt, dass

f

ein Isomorphismus

(ℝ^{⋆}, \circ) \to (ℝ^{⋆}, \cdot)

und folglich

(ℝ^{⋆}, \circ)

genau wie

(ℝ^{⋆}, \cdot)

eine kommutative Gruppe ist (mit

f^{- 1} (1) = \frac{1}{2}

als neutralem Element).

dreamerkid aktiv_icon

19:21 Uhr, 06.07.2010

hmm, ich hatte das mit den axiomen gerade so ein bischen verstanden, aber diese Version verwirrt mich gerade ein wenig :S

hagman aktiv_icon

19:55 Uhr, 06.07.2010

Ist aber eigentlich wunderbar klar.
*Jede* mittels der Verknüpfung ausdrückbare prädikatenlogische Aussage über

(R^{⋆}, \circ)

ergibt sich unmittelbar aus der über die per

f

ja isomorphe Struktur

(R^{⋆}, \cdot)

.
Denn

x \circ \leq z

ist ja äquivalent zu

f (x) \cdot f (y) = f (z)

.

Beispiel:

\forall x \forall y \forall z : x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z

folgt aus

\forall x \forall y \forall z : x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z,

weil

f (x \circ (y \circ z)) = f (x) \cdot f (y \circ z) = f (x) \cdot (f (y) \cdot f (z)) = (f (x) \cdot f (y)) \cdot f (z) = f (x \circ y) \cdot f (z) = f ((x \circ y) \circ z)

Und

\forall x : x \circ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \circ x = x

folgt aus

\forall x : x \cdot 1 = 1 \cdot x = x,

weil

f (x \circ \frac{1}{2}) = f (x) \cdot f (\frac{1}{2}) = f (x) \cdot 1 = f (x)

usw.
So übertragen sich nicht nur die Gruppenaxiome, sondern sämtliche Strukturaussagen:
Beispielsweise: Es gibt genau zwei

x \in ℝ^{⋆}

mit

x \circ x \circ x = x

Wenn man es allerdings im einzelnen wieder so explizit ausführt, ist es natürlich witzlos und die ganze Arbeitserparnis geht dahin.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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