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Beweise zu Folgen

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Folgen und Reihen

Tags: Analysis, Folgen und Reihen

 
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stefmathe

stefmathe aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.10.2020

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Aufgabe:

Für alle 0<a<b definiert man an und bna1:=a,b1:=b, und an+1:=anbn und bn+1:=an+bn2.
Zeige, dass die Folge In des Intervalls In:=[an,bn] folgendes erfüllt:
- In+1In für alle n
-Für alle ɛ>0 existiert ein n so dass In<ɛ

Problem/Ansatz:

Ich finde überhaupt keinen Ansatz um die 2 Punkte zu beweisen, ich wäre sehr dankbar über einen Lösungsweg.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:42 Uhr, 18.10.2020

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Ist hier gelöst:
http//www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/rheinlae/Lehre/Analysis1/Klausur01Loesungen.pdf

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

23:04 Uhr, 18.10.2020

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Hallo,

ohne DrBoogies Link angesehen zu haben:

Der erste Teil sollte nicht so schwierig werden:

Dass an+1=anbnanan=an gilt, sollte wohl auch von Anfängern machbar sein, oder?

Kommen wir als nächstes zu anbnan+bn2 (Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel): 0anbnan+bn2anbn(an+bn)244anbnan2+2anbn+bn20an2-2anbn+bn2=(an-bn)2

Und schließlich: bn+1=an+bn2bn+bn2=bn

Damit haben wir die Induktionsschritte für folgende Kette: anan+1bn+1bn

Was genau beim 2. Teil gemeint, kann ich nur ahnen. Geht es um ε>0n:bn-an<ε?

Dann kann man die Breite des Intervals In+1 gegen 12In abschätzen, sodass die Folge der Breiten gegen Null konvergiert.

Mfg Michael
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