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Beweise zu Q ist dicht in R

Universität / Fachhochschule

Tags: archimedisches Axiom, Cauchy-Folgen, dicht, Rationale Zahlen, Reelle Zahlen

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21:17 Uhr, 20.09.2010

hallo!

in meinem vorlesungsscript habe ich 2 verschiedene Beweise, die eigentlich alle unvollständig sind gefunden:

1)

K = C / N

wobei

C

alle Cauchyfolgen sind und

N

alle Nullfolgen
Wie kommt man auf diese Definition? Was bedeutet das?

i : ℚ \to K, q \mapsto {q} {x_{n}}

mit

x_{n} = q \forall n

Beh.:i(g)=

{

g}+N ist eine Einbettung und

ℚ

ist dicht.
Beweis:

\bar{x} = {x_{n}} + N

\forall k \exists N \forall n, m \geq N : | x_{n} - x_{m} | < \frac{1}{k},

weil

{x_{n}}

Cauchy ist (Wieso? so definiert?)
Sei

q = x_{N},

dann

\forall m \geq N | x_{n} - x_{N} | = | x_{n} - q | < \frac{1}{k}

| \bar{q} - \bar{x} | = {| q - x_{n} |} + N_{\infty} \leq {\frac{1}{k}} + N_{\infty} (

da habe ich im Script stehen:

{\frac{1}{k}} - N_{\infty}

das ist doch falsch?)
stimmt das mit den

q' s

so?
ist der beweis so vollbracht? wieso?

2)

mit Hilfe des Archimedischen Axioms
zz.

\forall x, y \in ℝ, x < y \to \exists g \in ℚ : x < q < y

Bewei:

0 < y - x \exists n : 1 < n (y - x) \Leftrightarrow \frac{1}{n} < y - x

Woher kommt die 1?
sei

m \in ℤ, m

minimal,

s . d

x < \frac{m}{n}

und

\frac{m}{n} < y

.
wäre y<=m/n,dann

x < y - \frac{1}{n} \leq \frac{m - 1}{m}

Widerspruch zur Minimalität von

m

.
wieso bin ich jetzt fertig?? bin ich überhaupt mit dem beweis so fertig?

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:22 Uhr, 20.09.2010

Moin, vielleicht hilft die der Beweis unseres Matheprofs, die Idee ist die gleiche wie beim zweiten deiner Beweise: www.mathematik.uni-muenchen.de~zenk/ws910/kap4.pdf (Lemma 4.1.5). Ich empfand ihn, als ich endlich geblickt hab, wie er geht, ziemlich überzeugend. :-)

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22:59 Uhr, 20.09.2010

hey!

der findet bei mir die seite
www.mathematik.uni-muenchen.de~zenk/ws910/kap4.pdf
nicht.

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23:03 Uhr, 20.09.2010

Oh, das ist die Syntax hier im Board. :-) Vor dem ~ sollte ein Slash:

www.mathematik.uni-muenchen.de/~zenk/ws910/kap4.pdf

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23:16 Uhr, 20.09.2010

ok, danke.
hat noch jemand was für den 1. beweis?

hagman aktiv_icon

15:43 Uhr, 22.09.2010

Wo hängt's denn da genau?

Die Abbildung

q \mapsto {(q)}_{n \in ℕ}

ist eine Abbildung von

ℚ

in die konstanten Folgen, erst recht also in die Cauchy-Folgen.
Wenn man

C

und

N

als

ℚ

-Vektorräume betrachtet, ist die Abbildung

q \mapsto {(q)}_{n \in ℕ}

sogar linear; und

q \in ℚ

landet in

N

genau dann, wenn

q = 0

. Der Kern von

i : ℚ \to ℝ = C / N

ist also trivial,

d . h

i

ist injektiv.
Nach Definition von Addition und Multiplikaton in

ℝ

(bzw. zuvor in

C)

ist

i

sogar ein Körperhomomorphismus, also wie gewünscht eine Körpereinbettung.

Zur Dichtheit:
Sei ein beliebiges Element

\bar{x} \in C / N

gegeben.
Dann gibt es ein Element von

C,

also eine Cauchy-Folge

{(x_{n})}_{n \in ℕ}

mit

\bar{x} = (x_{n}) + N

.
Zu zeigen ist, dass es zu jeder positiven Zahl

ε

ein

q \in ℚ

gibt mit

| i (q) - \bar{x} | < ε

.
Es kommt jetz ein wenig darauf an, ob du dies für jedes positive

ε \in ℝ

zeigen willst/sollst, oder "nur" für jede positive rationale Zahl

(d . h

. für

ε = i (e)

mit

e \in ℚ, e > 0)

. Richtig ist eigentlich der erste Weg.

Für reelle Zahlen bedeutet

a < b,

dass die Differenz der zugehörigen Cauchyfolgen für fast jedes

n

die Ungleichung

b_{n} - a_{n} > 0

erfüllt, aber keine Nullfolge ist.

Sei also

ε > 0, d . h

{(e_{n})}_{n \in ℕ}

eine Cauchy-Folge und es gilt insbesondere

e_{n} > 0

für fast alle

n

.
Ferner gibt es ein

k \in ℕ

mit

| e_{n} | > \frac{1}{k}

für fast alle

n,

denn sonst wäre

(e_{n})

Nullfolge, also

ε = 0

.

Da

(x_{n}) \in C

Cauchy-Folge ist, gibt es ein

n_{0}

mit

| x_{n} - x_{m} | < \frac{1}{2 k}

für alle

n, m \geq n_{0}

. Wähle

q := x_{n_{0}} \in ℚ

.
Dann gilt

x_{n} + e_{n} - q > \frac{1}{2 k}

für fast alle

n,

also

\bar{x} - ε - i (q) > 0

. Ebenso findet man

i (q) - \bar{x} - ε > 0,

insgesamt also

\bar{x} - ε < q < \bar{x} + ε

.
SOmit lässt ich zu jedem

\bar{x} \in ℝ

und jedem

ε > 0

ein

q \in ℚ

finden mit

| \bar{x} - i (q) | < ε

freed aktiv_icon

18:55 Uhr, 22.09.2010

okay, danke. das ist wohl etwas komplizierter...

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