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Beweise zum Skalarprodukt (allgemein, ohne Zahlen)

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt, Vektor

Philippus aktiv_icon

19:28 Uhr, 21.05.2020

Guten Tag liebes OnlineMathe-Forum,

ich sitze seit mehreren Stunden vor diesen drei Aufgaben, die nicht anhand von Zahlenbeispielen, sondern allgemein argumentierend beantwortet werden sollen. Allerdings stehe ich bei allen drei Punkten ziemlich auf der Leitung. Ich habe Ideen, mehr aber auch nicht. Daher wende ich mich nun an Euch.

1)

Zeigen oder widerlegen, dass das Skalarprodukt im

ℝ^{3}

assoziativ ist.

Meine Gedanken dazu:
assoziativ:

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

Das Skalarprodukt im

ℝ^{3}

wird so berechnet:

\vec{x} \circ \vec{y} = x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3}

Das Skalarprodukt ist, zumindest soweit ich weiß, aber nur für zwei und nicht für drei Vektoren definiert. Es muss also etwas Anderes mit der Frage gemeint sein.

2) \vec{a}

und

\vec{b}

sind zweidimensionale Vekotren mit ungeraden, ganzen Zahlen als Einträge. Nun soll gezeigt werden, dass das Skalarprodukt dieser Vekoren eine gerade, ganze Zahl ist.
Als Hinweis wird noch angemerkt, dass jede ungerade natürliche Zahl das Doppelte einer natürlichen Zahl minus ein ist.

Meine Gedanken dazu:
Anhand von Zahlen könnte ich es nachweisen, aber argumentativ fehlt mir leider jeglicher Ansatzpunkt.

3)

Begründen, weshalb für

\vec{x}, \vec{y} \in ℝ^{2 n}, n \in ℕ,

gilt, dass

0 \leq \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{| \vec{x} | \cdot | \vec{y} |} \leq 1

ist.

Meine Gedanken dazu:
Die Gleichung ist diejenige, mit der der Cosinus des Winkels zweier Vekoren ermittelt wird. Der

cos (2 \cdot π)

entspricht

1,

der

cos (\frac{π}{2})

entspricht 0. Dies sind die beiden Grenzen, die auch in der Aufgabenstellung genannt sind.

ℝ^{2 n}

irritiert mich allerdings.

Wie Ihr seht, komme ich nicht wirklich weiter. Habt ihr Ratschläge oder Ansatzpunkte für mich?

Viele Grüße
Philippus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

19:44 Uhr, 21.05.2020

1. Die Frage ist tatsächlich komisch. Wenn a und b Vektoren sind, ist

a \cdot b

schon eine Zahl. Damit ist

(a \cdot b) \cdot c

kein Skalarprodukt mehr, es kann höchstens ein Produkt zwischen einer Zahl und einem Vektor sein, wofür aber die zwei Zeichen

\cdot

unterschiedliche Bedeutung haben sollen. Ich würde sagen, dass Skalarprodukt deshalb nicht assoziativ ist, denn streng nach Definition kann es nur assoziativ sein, wenn das Ergebnis eines Skalarprodukts ein Vektor ist und keine Zahl.

2. Schreibe ungerade Zahlen in Form

2 n + 1

oder

2 m + 1

und rechne weiter damit.

DrBoogie aktiv_icon

19:45 Uhr, 21.05.2020

3. ist Spezialfall von de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung

Philippus aktiv_icon

20:19 Uhr, 21.05.2020

Guten Abend DrBoogie,

vielen Dank für Deine Antwort und die Ratschläge. Ich werde mich jetzt damit beschäftigen und melde mich spätestens morgen Vormittag wieder.

Viele Grüße
Philippus

Philippus aktiv_icon

19:00 Uhr, 22.05.2020

Guten Abend,

2)

hier sieht mein Ansatz aus wie folgt:

2 m

und

2 n

seien gerade Zahlen;

2 m + 1

und

2 n + 1

seien ungerade Zahlen; es gilt

m, n \in ℕ

Die Vektoren mit den ungeraden Einträgen lauten:

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 m + 1 \\ 2 n + 1 \end{matrix})

und

\vec{y} = (\begin{matrix} 2 n + 1 \\ 2 m + 1 \end{matrix})

\vec{x} \circ \vec{y} = (2 m + 1) \cdot (2 n + 1) + (2 n + 1) \cdot (2 m + 1)

Auflösen der Klammern:

\vec{x} \circ \vec{y} = (4 m n + 2 m + 2 n + 1) + (4 n m + 2 n + 2 m + 1)

Ausklammern der 2:

\vec{x} \circ \vec{y} = 2 \cdot (2 m n + m + n) + 1 + 2 \cdot (2 n m + n + m) + 1

Da die Ausdrücke in den Klammern identisch sind, kann ich nun umschreiben:

\vec{x} \circ \vec{y} = 2 \cdot 2 \cdot (2 m n + m + n) + 1 + 1

\vec{x} \circ \vec{y} = 2 \cdot 2 \cdot (2 m n + m + n) + 2

Die führende 2 vor der Klammer signalisiert, dass das Ergebnis durch 2 teilbar ist

(\to

also eine gerade Zahl ist). Die nachgestellte 2 ist ebenfalls durch zwei teilbar

(\to

somit auch eine gerade Zahl).

Ergibt das Sinn, oder bin ich hier auf der falschen Fährte?

3)

Hier bin ich leider noch nicht wirklich weiter gekommen. Ich habe versucht, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu verstehen, so richtig hat es aber noch nicht geklappt.

Viele Grüße
Philippus

DrBoogie aktiv_icon

21:48 Uhr, 22.05.2020

2 ist fast richtig. Nur wenn in x Zahlen m und n vorkommen, müssen sie nicht unbedingt in y vorkommen. Allgemein wird y die Form (2k+1,2l+1) haben, mit k,l und nicht m,n.

Über 3 schreibe ich morgen.

Philippus aktiv_icon

01:16 Uhr, 23.05.2020

Guten Abend DrBoogie,

vielen Dank für Deine Antwort!

Nach Deinem Hinweis habe ich die Lösung zu 2. noch einmal überarbeitet:

2 m, 2 n, 2 k, 2 l

seien gerade Zahlen,

2 m + 1, 2 n + 1, 2 k + 1, 2 l + 1

seien ungerade Zahlen

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 m + 1 \\ 2 n + 1 \end{matrix})

und

\vec{y} = (\begin{matrix} 2 k + 1 \\ 2 l + 1 \end{matrix})

\vec{x} \circ \vec{y} = (2 m + 1) \cdot (2 k + 1) + (2 n + 1) \cdot (2 l + 1)

\vec{x} \circ \vec{y} = (4 m k + 2 m + 2 k + 1) + (4 n l + 2 n + 2 l + 1)

\vec{x} \circ \vec{y} = 2 (2 m k + m + k) + 1 + 2 (2 n l + n + l) + 1

\vec{x} \circ \vec{y} = 2 (2 m k + m + k + 2 n l + n + l) + 1 + 1

\vec{x} \circ \vec{y} = 2 (2 m k + m + k + 2 n l + n + l) + 2

Mir ist noch ein Detail in der 3. Frage aufgefallen. Ich hatte beim Tippen der Frage leider eine Kleinigkeit durcheinander gebracht, daher jetzt noch einmal die korrigierte Form:

Begründen, weshalb für

\vec{x}, \vec{y} \in ℝ, n \in ℕ,

gilt, dass

0 \leq {(\frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{| \vec{x} | \cdot | \vec{y} |})}^{2 n} \leq 1

ist.

Viele Grüße
Philippus

DrBoogie aktiv_icon

08:56 Uhr, 23.05.2020

Cauchy-Schwarz besagt, dass

∣ x \cdot y ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

gilt für alle Vektoren

x, y

. Diese Ungleichung gilt nicht nur in

ℝ^{3}

, sondern in allgemeinen Vektorräumen. Der Beweis wird abstrakt über die Eigenschaften des Skalarprodukts geführt, er steht sogar in Wikipedia. Im Wesentlichen macht man dabei einen kleinen Trick. Man schreibt Folgendes:

〈 x - λ y, x - λ y 〉 = 〈 x - λ y, x 〉 - λ 〈 x - λ y, y 〉 = 〈 x, x 〉 - 2 λ 〈 x, y 〉 + λ^{2} 〈 y, y 〉 .

Diese Umformung folgt direkt aus den Eigenschaften des Skalarprodukts. Nun folgt daraus auch, dass diese Größe immer

\geq 0

ist. Das bedeutet, dass die Gleichung

〈 x, x 〉 - 2 λ 〈 x, y 〉 + λ^{2} 〈 y, y 〉 = 0

höchstens eine Lösung hat. Das ist aber eine quadratische Gleichung. Sie hat höchstens eine Lösung genau dann wenn

∣ 〈 x, y 〉 ∣^{2} \leq 〈 x, x 〉 \cdot 〈 y, y 〉

. Womit alles bewiesen ist.
Hier aber ich statt

x \cdot y

die Schreibweise

〈 x, y 〉

verwendet, die etwas allgemeiner benutzt wird, aber dasselbe bedeutet.

Und wenn schon

∣ x \cdot y ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥

gilt, dann folgt daraus natürlich

0 \leq \frac{(x \cdot y)^{2}}{∥ x ∥^{2} \cdot ∥ y ∥^{2}} \leq 1

. Und wenn man es hoch

n

nimmt, bleibt es auch zwischen 0 und 1.

Philippus aktiv_icon

15:40 Uhr, 23.05.2020

Guten Tag DrBoogie,

ganz vielen Dank! Ich habe mir das Ganze gerade einmal auf ein Blatt Papier geschrieben und nachvollzogen. Ich denke, ich habe es jetzt verstanden.

Eine letzte Frage habe ich noch:
Kannst Du, ohne Dich lange damit beschäftigen zu müssen, erkennen, ob mein geänderter Beweis für 2. soweit Sinn ergibt?

Ich habe noch nicht allzu viel Erfahrungen mit solch mathematischen Beweisen, daher meine Unsicherheit.

Viele Grüße und ein schönes Wochenende
Philippus

DrBoogie aktiv_icon

15:52 Uhr, 23.05.2020

Beweis ist Ok, ich würde ihn nur anders beginnen. Und zwar z.B. so:
da

x

und

y

nur ungerade Einträge haben, existieren

n, m, k, l

so, dass...

Man muss im Prinzip versuchen, bisschen zu erklären, was gemacht wird. Muss nicht unbedingt mit "mathematischen" Worten sein, man kann auch die Alltagssprache benutzen.

Philippus aktiv_icon

18:01 Uhr, 23.05.2020

Vielen Dank für Deine Hilfe!

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