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Beweise zur stereographischen Projektion
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: analytischer Beweis, geometischer Beweis, kartesische koordinaten, Kreistreue, Kugelkoordinaten, Winkeltreu
 
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Hallo liebe Leute, ich bin es mal wieder. Ich habe einige Fragen zu den aktuellen Übungsaufgaben von mir, das Thema ist wie der Titel schon sagt die stereographische Projektion. Ich soll Abbildungs- und Umkehrabbildungsvorschrift nicht nur in kartesischen, sondern auch in Kugelkoordinaten angeben. Für die Abildung habe ich die normale Transformation in den Anfangsvektor eingesetzt und dann abgebildet. Aber ich komme nicht ganz darauf, wie ich die Umkehrabbildung vom in den in Kugelkoordinaten angeben soll. Vorschläge? Beweis der Kreistreue. Ich habe so Argumentiert: soll ein beliebiger Kreis auf der Kugel sein. Wenn wir jetzt durch jeden Punkt auf eine Tangente legen, dann erhalten wir einen wie auch immer verzerrten Kegel, welcher die Kugel auf dem Kreis berührt. Die Spitze dieses Kegels nenne ich A. Ich kann jetzt hin gehen und A auf den Punkt A° in die Tangentialebene des Nordpols Abbilden/projezieren. Alle müssen logischerweise durch A gehen, da diesen den Punkt definieren. Zudem müssen alle Projektionen t° dieser Tangenten durch A° gehen. Da die Projektion k° von nun aber jede Projektion t° von senkrecht schneiden muss, muss k° auch ein Kreis sein, welcher um den Mittelpunkt A° herum läuft. Ist das so korrekt beschrieben? Ich soll die Winkeltreue auf analytischem und geometrischem Weg beweisen. Analytisch bedeutet ja, das ganze logisch Argumentiert herzuleiten und geometrisch bedeutet eine Zeichnung anzufertigen, aus der das hervorgeht, korrekt? Ich würde dann auf geometrischem Weg einfach das analytische aufzeichnen. Zum Thema analytisch: Zu zeigen ist ja, dass wenn sich zwei Geraden oder Kurven in der Ebene bzw. auf der Kugel unter dem Winkel Alpha schneiden, dann tun sie das auch auch auf der Kugel bzw. der Ebene. Meine Argumentation wäre wie folt: Ich habe zunächst einen Punkt irgendwo auf der Kugel. Durch diesen lasse ich zwei Tangenten und laufen. Man kann nun zwei Ebenen und bilden, welche durch und bzw. und gebildet werden, Südpol. Es wird auf die Ebene abgebildet, welche auch parallel zur Tangentialebene zu )liegt. Jetzt definiere ich mir ´ und ´ als die Schnittgeraden zwischen den Ebenen und bzw und und sehe, dass der Winkel zwischen ´ und ´ auch gleich Alpha sein muss. Weiter seien jetzt und die Projektionen von und auf die Ebene und der Winkel zwischen ihnen sei Beta. Da und sowie und in einer Ebene liegen, müssen die Winkel zwischen ihnen auch gleich groß sein, es muss also gelten Alpha = Beta. Korrekt? Ich hoffe mir kann jemand helfen, ich wäre sehr dankbar :-) Lieben Gruß. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Kann mir keiner helfen? LG. |
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Hallo 1. analytisch heisst durch Rechnung mit den Abbildungsgleichungen. geometrisch ist, wie du in argumentierst. dort fehlt, den Winkel zw. 2 Kurven auf kann man durch den Schnittwinkel von 2 Kreisen durch den Südpol , die auf Geraden abgebildet werden bestimmen, die 2 Kreise, die sich in schneiden,schneiden sich im gleichen Winkel in . deine erste Argumentation ; kreise auf Kreise verstehe ich nicht. in jedem Kreispunkt gibt es doch unendlich viele Tangenten an die Späre , von welchen sprichst du? offensichtlich nicht von denen ,die auch tangential an den Kreis sind, denn die liegen in einer Ebene und bilden keinen Kegel. ausserdem musst du noch die Kreise durch die auf Geraden abgebildet werden erwähnen. Gruß ledum Zu deiner Hilfe ein Bild mit allem  |
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Okay danke, dann muss ich mich nochmal dran setzen. Wie sähe der analytische Beweis denn in etwa aus? LG. |
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Hallo einfach stur rechnen, das geht nicht "ungefähr" Gruß ledum, |
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