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Beweisen Sie, dass die Menge.. ein Körper ist.

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14:28 Uhr, 15.11.2017

Frage: Beweisen Sie, dass die Menge

C := {(a, b) : a, b

ein element von

R} = R^{2}

mit der Addition

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

und der Multiplikation

(a,

b)·(c,

d) :=

(ac-bd, bc+ad) ein Körper ist Ferner zeigen Sie, dass die Abbildung

f : R - \to C

mit

f (a) = (a,0)

ein injektiver Körperhomomorphismus ist.

Meine Idea:
Ich muss die Abgeschlossenheit, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, neutrales Element und inverses Element für diesen Körper beweisen.
Assoziativgesetz:1.
Addition: Z.

z

((a, b) + c (c, d)) + c (e, f) = (a, b) + c ((c, d) + c (e, f)) 2

.
Multiplikation: Z.

z

((a, b) . c (c, d)) . c (e, f) = (a, b) . c ((c, d) . c (e, f))

Assoziativität der Addition:

Zu zeigen:

((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))

.

Es gilt

((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f)

= (a + (c + e), b + (d + f)) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))

Seien

(a, b), (c, d)

is element von

c

beliebig,

z

z

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

Dann setzen wir ein:

(a + c, b + d)

aber hier ist "

+

" eben

+ R

und dass die Addition im Körper der reellen Zahlen kommutativ ist wissen wir bereits, also gilt:

(a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

insgesamt also

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

alles was ich machen kann. wie es weiter geht weiss ich nicht mehr. Bittte euch auf eine komplette Lösung

\land

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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14:31 Uhr, 15.11.2017

"Bittte euch auf eine komplette Lösung "

Nö. Zu aufwendig. Dieser Körper ist im übrigen der Körper der komplexen Zahlen.
Zum Glück ist diese Konstruktion überall im Netz beschrieben.
Z.b. hier:
http//www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skriptlinalg/kapIII_para3.pdf

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16:36 Uhr, 15.11.2017

es geht hier um Mengen nicht vektoren..
hab schon fast alles gemacht mir fehlt noch das neutrales element was ich nicht genau weiss wie ich machen soll und auch das inveres. wie schon geschrieben, würde mich freuen für Lösungweg

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17:32 Uhr, 15.11.2017

"es geht hier um Mengen nicht vektoren.."

Es tut mir leid, aber das ist kompletter Unsinn.

C

ist zwar Menge, aber sie besteht aus Vektoren

(a, b)

.
Manchmal lohnt es sich nachzudenken, bevor man was schreibt.

Im Link steht, warum

(0, 0)

das neutrale Element bzgl.

+

ist und

(1, 0)

das neutrale Element bzgl.

\cdot

. Das ist im Übrigen auch trivial selber nachzuweisen.

Invers zu

(x, y)

bzgl.

+

ist

(- x, - y)

.
Invers zu

(x, y)

bzgl.

\cdot

ist

(\frac{x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{- y}{x^{2} + y^{2}})

(falls

(x, y) \neq (0, 0)

).
Warum - steht wiederum im Link und ist wiederum einfach selber nachzurechnen.

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18:46 Uhr, 15.11.2017

Ich weiss dass die Null ist das neutrale Element der
Addition, die Eins ist das neutrale Element der Multiplikation

geht jetzt wenn ich einfach eimal Null und einmal eins hier

((a, b) + (c, d))

einsetze ?

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19:53 Uhr, 15.11.2017

"Ich weiss dass die Null ist das neutrale Element der
Addition, die Eins ist das neutrale Element der Multiplikation"

Hallo! Wir sind in der Menge

C

, welche aus Vektoren

(a, b)

besteht.
Welche

1

meinst Du also?

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14:08 Uhr, 16.11.2017

wenn ich für a oder

b

eins einsetze

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14:13 Uhr, 16.11.2017

Dann für

a

oder für

b

?

Was in diesem Körper die Rolle von

1

spielt, habe ich schon geschrieben. Das ist der Vektor

(1, 0)

.
Warum Du trotzdem versuchst das Rad neu zu erfinden, verstehe ich nicht.

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14:18 Uhr, 16.11.2017

Ich versuch einfach zu vestehen, das ist das erste mal für mich, dass ich sowas machen soll und hab bis jetzt sowas garnicht gemacht und für mich ist alles immer noch schwer zu verstehen.

Danke trotzdem.

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14:26 Uhr, 16.11.2017

Wie gesagt - das ist nichts Anderes als die Konstruktion de komplexen Zahlen. Naturgemäß ist es gar nicht einfach, denn die großen Mathematiker im 18. und 19. Jahrhunderten viele Versuche und viele Ansätze gebraucht haben, um am Ende diese Konstruktion auszuarbeiten.
Und ich glaube, man braucht auch heutzutage ein deutlich überdurchschnittliches Talent, um diese Konstruktion selber auszudenken. Alleine die Definition der Multiplikation ist alles Andere als intuitiv.

Aber zum Glück ist es schon gemacht worden. Und da bekannt ist, dass es sich um komplexe Zahlen handelt, kann man auch andere Interpretationen von komplexen Zahl zu Rate ziehen - z.B. geometrische, mit "Polarkoordinaten". In Polarform ist z.B. die Multiplikation viel einfacher zu verstehen.

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15:46 Uhr, 16.11.2017

okay, danke.

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