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Beweisen, dass 7 nicht Summe dreier Quadratzahlen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Beweis, Beweis durch Widerspruch, Beweisverfahren, Quadratzahl, Summen, widerspruchsbeweis
 
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Hallo, Ich würde gern die Aussage, dass jede natürliche Zahl Summe dreier Quadratzahlen ist mit dem Beispiel widerlegen, dass sich die 7 nicht als Summe dreier Quadratzahlen darstellen lässt. Mir fällt jedoch keine Idee ein, wie ich diesen Widerspruchsbeweis durchführen soll. Kann mir jemand weiterhelfen ? LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Nimm einfach an, dass es drei nichtnegative ganze Zahlen mit gibt. Dabei darfst du o.B.d.A. annehmen, dass gilt - andernfalls sortiere sie eben entsprechend um. Jetzt schauen wir uns an, was denn so evtl. möglich ist für die Zahlen : Ist etwa , dann haben wir bereits , das wird nix. Andererseits bedeutet ja wegen dann , geht auch nicht. Somit bleibt nur übrig, eingesetzt , umgestellt ... So tastet man sich Schritt vor Schritt voran, bis nichts mehr übrig bleibt, d.h. kein Schlupfloch für eine evtl. Lösung. Damit wäre der indirekte Beweis dann komplett. ------------------------------------------ Es geht aber auch anders, wenn man etwa gleich beweist, dass SÄMTLICHE Zahlen nicht als Summe dreier Quadrate darstellbar sind. Dazu ist der obige Beweis nicht geeignet, man geht dann über die möglichen quadratischen Rest, in dem Fall hier modulo 8. Dieser andere Beweis ist aber besser zu verstehen, wenn man schon Grundzüge der Modulorechnung kennt. |
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Vielen Dank ! Ich habe eben erfahren, dass die Quadratzahlen elemente der ganzen Zahlen sein sollen und nicht der reellen Zahlen. Das macht die Aufgabe natürlich viel einfacher.. Nochmal danke ! |
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> Ich habe eben erfahren, dass die Quadratzahlen elemente der ganzen Zahlen sein sollen und nicht der reellen Zahlen Ähm, ja, das hatte ich hier als Selbstverständlichkeit angesehen: Der Terminus "Quadratzahl" ist mir im Kontext reeller Zahlen noch nie begegnet. :( |
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