Beweisen, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist

Hallo,

Aufgabenstellung:

Für $\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\subset {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0$ setzen wir $\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right):=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{2^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$. Beweisen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0$ ist.

Hinweis: Denken Sie an die geometrische Reihe

Ich hab leider absolut keine Ahnung, wie ich da herangehen muss.

Ich habe die Summe mit der geometrischen Reihe umgeformt zu${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1-\frac{1}{2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}}{1-\frac{1}{2}}}$, weil ${\displaystyle \frac{1}{{}_2\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ ja gegen 0 geht kommt als Ergebnis 2 heraus.

Was muss ich als nächstes tun? Oder ist das schon der Beweis?

${\displaystyle \mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}+\frac{1}{2^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}}$ ist das richtig?