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Beweisen, dass diese Formel erfüllbar ist?

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussagenlogik, logik, MATH, Mathematik, Modell, Prädikatenlogik, theorie

anonymous

17:42 Uhr, 07.05.2023

Hallo!

Sie

τ

ein Vokabular. Eine Formel (Prädikatenlogik erster Stufe)

φ (x_{1}, . . ., x_{n})

heißt erfüllbar, wenn es eine Struktur

A = (M, . . .)

und

a_{1}, \dots, a_{n} \in M

gibt, sodass

A ⊨ φ [a_{1}, . . ., a_{n}]

.

Jetzt sei

τ

das Vokabular, das aus einem zweistelligen Relationssymbol

r

, einem einstelligen Funktionssymbol

f

und zwei Konstantensymbolen

c

und

k

besteht. Ich möchte zeigen, dass die Formel

φ := \forall x (r (x, f (x)))

\land \forall x \forall y (r (x, y) \to \neg (x \equiv y))

\land \forall x \forall y \forall z ((r (x, y) \land r (y, z)) \to r (x, z))

\land \neg r (c, k) \land \neg r (k, c) \land \neg (c \equiv k)

erfüllbar ist. Dazu schreibe ich

φ = φ_{1} \land φ_{2} \land φ_{3} \land φ_{4}

.

Also was ich nicht ganz verstehe, ist der Teil in dem eben Elemente von

M

in eine Formel

φ

eingesetzt worden. Also, wenn ich z.B. die Formel

φ (x_{1}, x_{2}) = (x \equiv y)

habe, dann kann ich das ja was einsetzten. Aber bei dieser Formel sind gar keine freien Variablen...

Naja ich habe trotzdem eine Lösung... denke ich... Also ich habe eine Struktur gefunden, in der die Aussage

φ

wahr ist. Dazu sei

A = (M, r, f, c, k)

, wobei

M

die Menge aller endlichen Teilmengen von

ℕ

ist. Die Relation wählen wir als

\subset

, also echte (!) Teilmenge. Die Funktion sei definiert durch

f : M \to M, x \to x \cup {(max x) + 1}

und die Konstanten sind

{0}

und

{1}

. Dann sollten alle

φ_{i}

erfüllt sein, weil

x \subset f (x)

(

φ_{1}

) und die Relation

\subset

ist irreflexiv (

φ_{2}

) und die ist transitiv (

φ_{3}

) und

φ_{4}

gilt auch.

Jetzt habe ich aber eben keine

a_{1}, \dots, a_{n} \in M

angegeben, sodass

A ⊨ φ [a_{1}, \dots, a_{n}]

... Ist mein Ansatz trotzdem Beweis der Behauptung? Wie kann ich das verstehe mit diesem Einsetzen...?

vielleicht hat jemand von euch einen Tipp! Danke und liebe Grüße, Max.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

anonymous

02:24 Uhr, 08.05.2023

Wenn

φ

keine freien Variablen hat, hängt die Gültigkeit nicht von

a_{1}, \dots, a_{n}

ab. Man schreibt dann

A ⊨ φ

und man braucht natürlich kein

(a_{1}, \dots, a_{n}) \in M^{n}

"finden".

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