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Beweisen, dass linear unabhängig & Isorphismhs gib

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Äquivalenz, Isomorphismus, Lineare Algebra, Vektorraum

Marie267 aktiv_icon

18:15 Uhr, 29.01.2023

Sei

V

ein endlichdimensionaler IF-Vektorraum und

f

∈

L (V, V)

besitze die Darstellungsmatrix M.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1)

Die Spaltenvektoren von

M

sind linear unabhängig

2) f

ist ein Isomorphismus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

19:14 Uhr, 29.01.2023

Hallo,

1)

\Rightarrow

2):

Die Spalten einer Matrix

M

ergeben sich als Spaltenvektoren dadurch, dass man

M

mit den Koordinatenvektoren der Standardbasis multipliziert.
Demnach ist die Menge der Bilder der oben genannten Basis linear unabhängig.
Nennen wir die Dinge beim Namen, dann erhalten wir leichter darstellbare Mathematik:
Die o.g. Basis sei

E

und habe die Elemente

e_{1}, \dots, e_{n}

.
Die Spalten von

M

seien

m_{1}, \dots, m_{n}

.
Es gilt also

m_{i} = M \cdot e_{i}

für

1 \leq i \leq n

.

Es gelte nun

M v = 0

und

v = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} e_{i}

.
Infolge dessen:

0 = M v = M \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} e_{i} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} M e_{i} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} m_{i}

Aus der linearen Unabhängigkeit von

{m_{1}, \dots, m_{n}}

folgt nun, dass

λ_{i} = 0

für alle

i

zu gelten hat. Ergo gilt

v = 0

. Damit ist die Abbildung offenbar invertierbar.
(Hängt hier ein bisschen davon ab, was ihr schon wisst.)

Kannst du die Rückrichtung selbst?

Mfg Michael

Marie267 aktiv_icon

19:30 Uhr, 29.01.2023

Leider kann ich die Rückbildung nicht selbst

michaL aktiv_icon

09:16 Uhr, 30.01.2023

Hallo,

hast du denn meine Beweisidee für (1)

\Rightarrow

(2) verstanden?
Das wäre schon sehr hilfreich!

Ich verwende für die lineare Unabhängigkeit doch sicher auch eure Definition. (Oder nicht?)

Für die Bijektivität der Abbildung

v \mapsto M v

verwende ich einen Satz, den man oft schon am Anfang beweist: Eine lineare Abbildung

f : V \to V

ist für endlich dimensionale

V

genau dann bijektiv, wenn

\ker (f) = {0}

gilt.

Schau doch mal, wie ich die beiden Eigenschaften "linear unabhängige Spaten von

M

" und "

v \mapsto M v

bijektiv" miteinander verknüpfe.
Überleg, ob die Rückrichtung nicht ähnlich zu machen ist, nur eben "rückwärts"?!

Mfg Michael

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