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Beweisen, dass sup Y = -inf X

Universität / Fachhochschule

Tags: Teilmengen in R

 
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Lila0103

Lila0103 aktiv_icon

20:54 Uhr, 28.09.2017

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Folgende Aufgabe:

Es sei X nichtleere beschränkte Teilmenge von ℝ. Zeigen Sie: Ist inf X>0, so besteht für das Supremum der menge Y:={x∈ℝ|-x∈X} der Zusammenhang supr Y= -inf X.

Ich benötige nur den Beweis, damit ich versuchen kann, alles nachzuvollziehen. Bei Unverständnis melde ich mich. Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

21:28 Uhr, 28.09.2017

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Hallo,

es gelte also X⊆ℝ beschränkt, Y:=-X:={-x∣x∈X}. (Ich glaube, dass infX>0 für die zu zeigende Gleichung keine Rolle spielt!)

Sei u eine untere Schranke von X, d.h. für alle x∈X gelte u≤x. Insbesondere gilt dann -x≤-u für alle x∈X, d.h. -u ist obere Schranke von Y=-X, woraus also supY≤-u folgt, da das Supremum die KLEINSTE aller oberen Schranken ist.

Falls -infX NICHT Supremum von Y=-X wäre, dann müsste es eine kleinere obere Schranke s von Y geben, d.h. es würde y≤s<-infX gelten für alle y∈Y. Da y=-x für ein x∈X gilt, bedeutet dies -x≤s<-infX⇔x≥-s>infX.
Insbesondere wäre s eine GRÖSSERE untere Schranke als infX (was offenbar ein Widerspruch zur Infimumseigenschaft von infX ist).

OT:
> Ich benötige nur den Beweis, damit ich versuchen kann, alles nachzuvollziehen.

So funktioniert Mathe nicht.

> Bei Unverständnis melde ich mich.

Dann bis später.

EDIT: Ich hätte es besser wissen sollen...

Mfg Michael
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