Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweisen sie teilbarkeit durch 5

Beweisen sie teilbarkeit durch 5

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Induktion, Relation.

maxi97 aktiv_icon

14:28 Uhr, 22.10.2021

Hallo Mathe Forum,
ich knoble seit einiger Zeit nun an dieser Aufgabe:

Beweisen die

7^{n} - 2^{n}

ist teilbar durch 5

Mein bisheriger Ansatz:

Anfang:

n = 1 : 7^{n} - 2^{n} = 5

Voraussetzung:

7^{n} - 2^{n}

teilbar durch 5

Zu Zeigen:
wenn

n \to (n + 1)

dann

7^{n + 1} - 2^{n + 1}

Beweis:

7^{n + 1} - 2^{n + 1} = 7^{1} \cdot 7^{n} - 2^{1} \cdot 2^{n}

und jetzt komme ich nicht weiter.
Meine Idee wäre jetzt

7^{n} - 2^{n}

irgendwie auszuklammern den das ist ja schon durch die Voraussetzung beweisen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:15 Uhr, 22.10.2021

7^{n + 1} - 2^{n + 1} = 7^{n + 1} - 2 \cdot 7^{n} + 2 \cdot 7^{n} - 2^{n + 1} = 7^{n} \cdot (7 - 2) + 2 \cdot (7^{n} - 2^{n})

HAL9000

15:16 Uhr, 22.10.2021

Wegen

7 = 5 + 2

kannst du weiter umformen

7^{n + 1} - 2^{n + 1} = 5 \cdot 7^{n} + 2 \cdot (7^{n} - 2^{n})

.

Klingelt es jetzt?

P.S.: Auch etwa durch Induktion nachweisbar ist das allgemeinere

a^{n} - b^{n} = (a - b) \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{k} b^{n - 1 - k}

gültig für alle natürlichen

n \geq 1

.

Deine Teilbarkeitsaussage wäre dann eine einfache Folgerung aus dieser Gleichung.

maxi97 aktiv_icon

15:36 Uhr, 22.10.2021

Danke. Dann ist der erste Summand ein vielfachs von 5 und der zweite Summand ein Vielfaches der Voraussetzung.

Selber wäre ich nie auf die Idee gekommen so zu erweitern.

maxi97 aktiv_icon

15:36 Uhr, 22.10.2021

Danke. Dann ist der erste Summand ein vielfachs von 5 und der zweite Summand ein Vielfaches der Voraussetzung.

Selber wäre ich nie auf die Idee gekommen so zu erweitern.

1543006

1542999

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?