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Beweisen von Nullfolgen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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17:24 Uhr, 04.02.2016

Ich soll beweisen, dass die rationale Zahlenfolge

a_{n} = \frac{1}{n}

und

b_{n} = \frac{1}{2} - \frac{n}{2 n + 1}

eine Nullfolge ist.
Dass diese beiden Folgen bei

lim_{n \to \infty}

gegen 0 konvergiert ist mir klar, aber wir sollten das mit der Definition beweisen, welche lautet:

eine rationale Zahlenfolge ist eine Nullfolge, falls es zu jeden

ε > 0

ein

N (ε) \in ℕ

existiert mit der Eigenschaft,

| x_{n} | < ε

für alle

n \geq N (ε)

Was wäre den eine Möglichkeit, anzufangen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:35 Uhr, 04.02.2016

.
"Was wäre den eine Möglichkeit, anzufangen? "

x_{n}

einsetzen und

N

(versuchen zu) berechnen..
.

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17:36 Uhr, 04.02.2016

würde zum Beispiel bei

a_{n}

diese Argumentation genügen?

wähle

ε = 2

und

n = 1

ergibt sich daraus

1 < 2

.
Ist offensichtlich eine wahre Aussage und wegen

\frac{1}{n}

können wir ausschließen, dass

a_{n} < ε

für alle

ε > 1

gilt.
Jetzt betrachten wir

0 < ε \leq 1

(am einfachsten als rationale Zahl) und setzten

ε = \frac{1}{n}

und wir wissen, dass

\frac{1}{n + 1}

immer

< \frac{1}{n} = ε

ist für

n \in ℕ

. also existiert für alle

ε

auch ein

n \in N (ε)

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17:45 Uhr, 04.02.2016

.
du brauchst kein konkretes

ε

zu wählen

\to

allgemein

\to

sei

ε > o

| a_{n} | = \frac{1}{n} . .

. (da ja

n > 0)

also
aus

\to \frac{1}{n} < ε

...folgt=>

n > \frac{1}{ε} = N (ε)

dh:
für alle

n > N (ε) = \frac{1}{ε}

gilt

\to | a_{n} | < ε

. .

. dh GW

= 0

wzbw.
fertig...
wenn du willst kannst du ein paar Beispiele wählen

sei

ε = \frac{1}{10} \Rightarrow N = 10 .

. für alle

n > 10

liegt

a_{n}

weniger als

\frac{1}{10}

von 0 entfernt..

oder
sei

ε = 0,00274 \Rightarrow . .

.

oder
sei

ε = 10^{- 12} \Rightarrow . .

.

also.. für jedes

ε > 0

gibt es ein endliches

N,

so dass

. .

. .

. fast alle

a_{n}

in der

ε

-Umgebung von 0 liegen

("fast alle" bedeutet

\to

"alle - bis auf endlich viele.. dh bis auf die
ersten paar Folgenglieder, für die

n

noch nicht grösser als

N (ε)

ist)
.

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18:28 Uhr, 04.02.2016

Also wie ich das verstanden habe, kann man

| x_{n} | < ε

so zu sagen in Form eines Gleichungs versuchen (nach

n)

zu lösen. Ist das richtig?

Dann hätte ich bei

b_{n}

als Ergebniss

n > \frac{1 - ε}{4 ε} = N (ε)

wählt man da als Beispiel

ε = 1 \Rightarrow N (ε) = 0

und für

n > 0

gilt

| b_{n} | < ε

(habe überprüft und es ist offensichtlich wahr)

Ist eine solche Rechnung logisch?

rundblick aktiv_icon

18:42 Uhr, 04.02.2016

i . P

. schon
aber .. man sieht ja nicht, wie du bei

b_{n} = \frac{1}{4 n + 2}

gerechnet hast ,
um .. ein wohl nicht ganz korrektes ?! ..

N (ε)

zu bekommen ?

und:
der Sinn ist, dass die Ungleichung für jedes noch so kleine

ε > 0

jeweils dann für ALLE

n

ab einer endlichen Zahl

N

gelten muss (deine Beispiele mit

ε = 1

oder 2 sind da nicht besonders schlau)

nebenbei: wenn es nicht gelingt, für JEDES (noch so kleine)

ε > 0

ein passendes

N

zu finden, dann ist der vermutete Grenzwert falsch

(.

. oder du hast falsch gerechnet...)

.

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19:04 Uhr, 04.02.2016

also mit

b_{n} = \frac{1}{2 n + 1}

weiß ich nicht ganz genau, was du meinst aber ich habe gerade nach geschaut und festgestellt, dass ich mich verrechnet habe. Die Rechnung muss

\frac{1}{2} - \frac{n}{2 n + 1} = \frac{(2 n + 1) - 2 n}{4 n + 2} = \frac{1}{4 n + 2}

\frac{1}{4 n + 2} < ε \Leftrightarrow 1 < ε (4 n + 2) \Leftrightarrow 1 < 4 ε n + 2 ε \Leftrightarrow 1 - 2 ε < 4 ε n

\Leftrightarrow \frac{1 - 2 ε}{4 ε} < n

aussehen sodass

n > \frac{1 - 2 ε}{4 ε} = N (ε)

und wenn man da ein

ε = \frac{1}{100}

betrachte (wie du meintest lieber ein Zahl näher an 0 als

1)

wäre

N (ε) = 24

(rechner sagt

24.5

aber da

N \in ℕ

ist nehme ich mal

24)

also für

n > 24

sollte die Aussage gelten. Ich überprüfe

| b_{25} | = \frac{1}{2} - \frac{25}{51} = \frac{51 - 50}{102} = \frac{1}{102} < \frac{1}{100}

ist wahr.

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19:15 Uhr, 04.02.2016

b_{n} = \frac{1}{4 n + 2}

.. ja - und jetzt stimmt dein

N (ε) = \frac{1 - 2 ε}{4 ε}

Ergebnis: es gibt also zu jedem

ε > 0

ein solches

N,

so dass

. .

.

und nochmal ( von wegen logisch) :

du zeigst mit dieser Rechnung ,
dass in JEDER denkbaren, noch so kleinen Umgebung um den Grenzwert
sich jeweils IMMER garantiert unendlich viele Glieder der Folge ("fast alle")
herumtummeln - und ausserhalb jeweils nur endliche viele (nämlich höchstens

N)

ok?

.

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19:57 Uhr, 04.02.2016

Alles klar, Vielen Dank

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