Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Beweisen von ggT

Beweisen von ggT

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit Zahlentheorie größter gemeinsamer Teiler

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
anonymous

anonymous

03:11 Uhr, 20.01.2020

Antworten
Hallo wir sollen Folgende Aussagen beweisen:
1. ) Für alle n ∈ N gilt: ggT(4n^2 +1,2n+1)=1
2. ) Für alle n ∈ N gilt: ggT(n^2 -n+1,n+1) ∈ {1,3}
3. ) Eine Zahl n ∈ N mit n ≠ 1 ist genau dann prim, wenn für alle a,b ∈ N gilt: aus n |ab folgt n|a oder n|b

Ich habe keine richtige Ahnung wie ich die Aufgabe lösen kann. Vielleicht kann mir einer von euch helfen. Wäre sehr dankbar. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

09:13 Uhr, 20.01.2020

Antworten
Eine zentrale Eigenschaft des ggT ist ggT(a,b) = ggT(a-kb,b), gültig für ALLE (!) ganzen Zahlen a,b,k.

1) Wähle a=4n2+1 , b=2n+1 , k=2n-1 und später nochmal a=2n+1,b=2,k=n, dann gilt

ggT(4n2+1,2n+1)=!ggT(4n2+1-(2n-1)(2n+1),2n+1)=ggT(2,2n+1)=!ggT(2,2n+1-2n)=ggT(2,1)=1

Ähnlich 2) mit a=n2-n+1,b=n+1,k=n-2.


3) folgt für prime n aus dem Lemma von Euklid, während man für nichtprime n ein Gegenbeispiel angeben kann (d.h. passende Zahlen a,b, für die die angegebene Implikation nicht gilt).
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.