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Beweisen von xln(x+1) < (x+1)ln(x)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Beweis, Beweisführung, Funktion, ln-Funktion

WammaWink aktiv_icon

22:33 Uhr, 03.12.2021

Wie beweise ich

x \cdot ln (x + 1) < (x + 1) \cdot ln (x)

?
Hilft

ln (x + 1) \leq x

hier?

Vielen Dank!

Edit: vielleicht so?:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
e-Funktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Mathe45

23:01 Uhr, 03.12.2021

Wie lautet die Originalaufgabe?

HAL9000

23:25 Uhr, 03.12.2021

Für welche

x

soll die Ungleichung

x \cdot \ln (x + 1) < (x + 1) \cdot \ln (x)

denn bitte bewiesen werden? Für

x = 1

jedenfalls nicht, denn für diesen Wert ist sie falsch.

------------------------------------

Funktion

g (x) = \frac{\ln (x)}{x}

ist wegen

f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}

auf (0,e] streng monoton wachsend, und auf

[e, \infty)

streng monoton fallend, für

x \geq e

gilt daher

\frac{\ln (x)}{x} > \frac{\ln (x + 1)}{x + 1}

(x + 1) \ln (x) > x \ln (x + 1)

.

Genauso kann damit für

0 < x \leq e - 1

das Gegenteil

(x + 1) \ln (x) < x \ln (x + 1)

gefolgert werden!

Tatsächlich gibt es einen Wert

x^{*} \in (e - 1, e)

, wo das Relationszeichen "umschlägt", der ist allerdings nur näherungsweise bestimmbar (evtl. vielleicht mit LambertW, hab ich jetzt nicht weiter untersucht)

x^{*} \approx 2.293

Roman-22

01:36 Uhr, 04.12.2021

Wenn ich dein Bild richtig interpretiere, dann geht es dir in Wirklichkeit doch um den Grenzwert

lim_{x \to \infty} \frac{{(x + 1)}^{x}}{x^{x + 1}},

den du schon auf

lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + \frac{1}{x})}^{x}}{x}

umgeformt hast. Deine Argumentation danach ist aber falsch, auch wenn du das richtige Ergebnis erhältst. Du kannst den Grenzübergang nicht so schrittweise durchführen.
Aber du solltest doch wissen, dass

lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e

ist (und nicht

1),

oder?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:47 Uhr, 05.12.2021

Wir zeigen:

\forall S \in R_{> 0} \exists M \in N \forall x \in R_{> 0} : x \geq M \Rightarrow q (x) := \frac{x^{x + 1}}{{(x + 1)}^{x}} > S

und somit

q (x) \to \infty (x \to \infty)

sowie

\frac{1}{q (x)} \to 0 (x \to \infty)

.

Wegen

\frac{x^{x + 1}}{{(x + 1)}^{x}} > S \Leftrightarrow {(\frac{x}{x + 1})}^{x} > \frac{S}{x} \Leftrightarrow {(1 + \frac{1}{x})}^{x} < \frac{x}{S} \forall x \in R_{> 0}

und

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} < 3 \forall n \in N_{> 0}

(siehe Bild)

sowie

\frac{x}{S}

und

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

streng monoton steigend auf

R_{> 0}

(weshalb dann auch

{(1 + \frac{1}{x})}^{x} < 3 \forall x \in R_{> 1})

gilt Behauptetes für

M \geq max {1,3 \cdot S}

.

Den/die Monotoniebeweise gebe ich hier nicht, viel Spaß !

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