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Beweisen von x*ln(x+1) < (x+1)*ln(x)

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Tags: Beweis, Beweisführung, Funktion, ln-Funktion

 
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WammaWink

WammaWink aktiv_icon

22:33 Uhr, 03.12.2021

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Wie beweise ich xln(x+1)<(x+1)ln(x)?
Hilft ln(x+1)x hier?


Vielen Dank!

Edit: vielleicht so?:

Screenshot_20211203_223935_com.whatsapp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Mathe45

Mathe45

23:01 Uhr, 03.12.2021

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Wie lautet die Originalaufgabe?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

23:25 Uhr, 03.12.2021

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Für welche x soll die Ungleichung xln(x+1)<(x+1)ln(x) denn bitte bewiesen werden? Für x=1 jedenfalls nicht, denn für diesen Wert ist sie falsch.

------------------------------------

Funktion g(x)=ln(x)x ist wegen f(x)=1-ln(x)x2 auf (0,e] streng monoton wachsend, und auf [e,) streng monoton fallend, für xe gilt daher

ln(x)x>ln(x+1)x+1

(x+1)ln(x)>xln(x+1).

Genauso kann damit für 0<xe-1 das Gegenteil (x+1)ln(x)<xln(x+1) gefolgert werden!

Tatsächlich gibt es einen Wert x*(e-1,e), wo das Relationszeichen "umschlägt", der ist allerdings nur näherungsweise bestimmbar (evtl. vielleicht mit LambertW, hab ich jetzt nicht weiter untersucht) x*2.293.

Antwort
Roman-22

Roman-22

01:36 Uhr, 04.12.2021

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Wenn ich dein Bild richtig interpretiere, dann geht es dir in Wirklichkeit doch um den Grenzwert limx(x+1)xxx+1, den du schon auf limx(1+1x)xx umgeformt hast. Deine Argumentation danach ist aber falsch, auch wenn du das richtige Ergebnis erhältst. Du kannst den Grenzübergang nicht so schrittweise durchführen.
Aber du solltest doch wissen, dass  limx(1+1x)x=e   ist (und nicht 1), oder?
Antwort
Vlad Sloborodnyjesowicz

Vlad Sloborodnyjesowicz aktiv_icon

01:47 Uhr, 05.12.2021

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Wir zeigen:

SR>0MNxR>0:xMq(x):=xx+1(x+1)x>S

und somit q(x)  (x) sowie 1q(x)0  (x).


Wegen

xx+1(x+1)x>S(xx+1)x>Sx(1+1x)x<xS  xR>0

und (1+1n)n<3  nN>0 (siehe Bild)

sowie xS und (1+1x)x streng monoton steigend auf R>0

(weshalb dann auch (1+1x)x<3  xR>1)

gilt Behauptetes für Mmax{1,3S}.

Den/die Monotoniebeweise gebe ich hier nicht, viel Spaß !


20211205_014106
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