Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweisführung

Beweisführung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Beweisführung, Funktion

Schwalz aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.09.2017

Wie beweise ich das folgende Gleichung für x > 1 stimmt (Wolframalpha bestätigt)

4 \cdot \log (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2}) \cdot (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2}) > \log (x)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

16:30 Uhr, 12.09.2017

Z.B. kann man es durch die Ableitungen begründen.
Die Ableitung der Funktion links ist für alle

x > 1

größer als die Ableitung der Funktion rechts.

Schwalz aktiv_icon

19:23 Uhr, 12.09.2017

Das beweist aber nur ob die Steigung links größer als rechts ist, das sagt nichts über die konkreten Werte aus, und in welchem Bereich die rechte Seite eventuell größer ist als die linke.

DrBoogie aktiv_icon

19:45 Uhr, 12.09.2017

Doch, das reicht als Beweis. Und zwar aus dem folgenden Grund.
Sei

f

die Funktion links und

g

die Funktion rechts (ich will einfach nicht die komplizierten Ausdrücke mitschleppen).
Es gilt

f (1) = g (1)

. Wenn wir außerdem beweisen, dass

f^{ʹ} (x) > g^{ʹ} (x)

für

x > 1

,
so haben wir für die Funktion

h := f - g

: einerseits

h (1) = 0

und andererseits

h^{ʹ} (x) > 0

.
Daraus folgt, dass

h (x) > 0

für

x > 1

, weil

h

monoton steigt. Damit

f (x) - g (x) > 0

f (x) > g (x)

Schwalz aktiv_icon

20:17 Uhr, 13.09.2017

Ich habe eine weitere Gleichung:

f (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}} + 2} > 0

Die erste Ableitung ist:

f ʹ (x) = \frac{3}{4 {(x^{\frac{1}{4}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{4}}} + \frac{2}{3 (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{1}{2}) x^{\frac{1}{3}}} - \frac{3}{2 (x^{\frac{1}{4}} + 2) \sqrt{x}} - \frac{1}{6 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}

Und wenn ich das richtig sehe, wird das nur noch schlimmer wenn ich weiter ableite. Wie beweise ich hier das die Gleichung f(x) gilt für x > 1? (Wolframalpha bestätigt)

Edit: Wolframalpha behauptet sogar das für positive x gilt

x^{\frac{1}{12}} > 1

DrBoogie aktiv_icon

21:49 Uhr, 13.09.2017

"Wolframalpha behauptet sogar das für positive x gilt"

Nö, das kann nicht sein. Z.B.

x = 0 . 5^{12}

ist positiv, aber

x^{1 / 12} = 0.5 < 1

DrBoogie aktiv_icon

21:51 Uhr, 13.09.2017

Das würde ich zuerst umformen, z.B. kann man

x^{1 / 3}

"rausziehen" usw.

Schwalz aktiv_icon

23:12 Uhr, 13.09.2017

Mit Wolframalpha hab ich mich unklar ausgedrückt. Ich meinte das die Umformung laut WA so zulässig ist, für positive x. Das die Formel für kleine x nicht gilt, ist klar.

Umformung führt mich zu

2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{11}{12}} - \frac{3}{2} x^{\frac{5}{6}} - \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}

Von hier aus weiß ich nicht weiter?

Hast du eine weitere Idee, das hier besser umzuformen?

Alternativ erhalte ich nun folgende Ableitung

f ʹ (x) = \frac{11 * x^{\frac{5}{12}} + 16 * x^{\frac{1}{6}} - 15 * x^{\frac{1}{3}} + - 9}{12 * x^{\frac{1}{2}}}

Kann man da eventuell schon zeigen, das das für x > 1 positiv sein muss, so ist der erste Term ja aufjedenfall größer als die -9 die am Ende abgezogen werden, allerdings lässt sich für die Mitte nichts sagen.

DrBoogie aktiv_icon

09:26 Uhr, 14.09.2017

Du willst beweisen:

\frac{x^{2 / 3}}{0.5 x^{1 / 3} + 0.5} > \frac{3 x^{1 / 3}}{x^{1 / 4} + 2}

für

x > 1

.

Das kann man durch

x^{1 / 3}

"kürzen":

\frac{x^{1 / 3}}{0.5 x^{1 / 3} + 0.5} > \frac{3}{x^{1 / 4} + 2}

, was dann äquivalent ist zu

x^{1 / 3} (x^{1 / 4} + 2) > 3 (0.5 x^{1 / 3} + 0.5)

, was dasselbe ist wie

x^{1 / 2} + 2 x^{1 / 3} > 1.5 x^{1 / 3} + 1.5

,
und das kann man noch zu

x^{1 / 2} + 0.5 x^{1 / 3} - 1.5 > 0

umformen.
Sei jetzt

g (x) := x^{1 / 2} + 0.5 x^{1 / 3} - 1.5

. Wie haben:

g (1) = 0

und

g^{ʹ} (x) = 0.5 x^{- 1 / 2} + 0.15 x^{- 2 / 3} > 0

für alle

x > 0

. Damit ist

g

streng monoton wachsend =>

g (x) > 0

für alle

x > 1

. Und das ist genau, was Du brauchst.

Schwalz aktiv_icon

10:17 Uhr, 14.09.2017

Mir ist leider beim Abtippen hier ein Fehler unterlaufen.

Die richtige Funktion ist

\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} > \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 + x^{\frac{1}{4}}}

Daher konnte ich auch nicht das x^(1/3) rauskürzen und komm auf die Umformungen meines letzten Beitrages.

Entschuldigung für die Umstände.

DrBoogie aktiv_icon

10:19 Uhr, 14.09.2017

"Daher konnte ich auch nicht das x^(1/3) rauskürzen"

Dann halt sofort umformen wie ich nach dem "rauskürzen" gemacht habe. Der Rest geht genauso wie oben.

Schwalz aktiv_icon

10:54 Uhr, 14.09.2017

Durch Umformung erhalte ich:

x^{\frac{11}{12}} + 2 x^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{5}{6}} - \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} > 0

das Abgeleitet ist

\frac{11}{12} x^{- 1 / 12} + \frac{4}{3} x^{- 1 / 3} - \frac{5}{4} x^{- 1 / 6} - \frac{3}{4} x^{- 1 / 2} > 0

Sorry wenn ich mich dumm anstelle, aber ich seh noch nicht ganz wie ich oben das Muster auf diese Ableitung anwenden kann.

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.09.2017

Das ist in der Tat etwas schwieriger, man muss mehrere Male ableiten.

Zuerst mal

\frac{11}{12} x^{- 1 / 12} + \frac{4}{3} x^{- 1 / 3} - \frac{5}{4} x^{- 1 / 6} - \frac{3}{4} x^{- 1 / 2} = x^{- 1 / 2} (\frac{11}{12} x^{5 / 12} + \frac{4}{3} x^{1 / 6} - \frac{5}{4} x^{1 / 3} - \frac{3}{4})

Es muss jetzt also gezeigt werden, dass für

h (x) := \frac{11}{12} x^{5 / 12} + \frac{4}{3} x^{1 / 6} - \frac{5}{4} x^{1 / 3} - \frac{3}{4}

gilt

h (x) > 0

für

x > 1

. Da

h (1) > 0

, reicht

h^{ʹ} (x) > 0

zu zeigen.

Also,

h^{ʹ} (x) = \frac{55}{144} x^{- 7 / 12} + \frac{2}{9} x^{- 5 / 6} - \frac{5}{12} x^{- 2 / 3} = x^{- 5 / 6} (\frac{55}{144} x^{1 / 4} + \frac{2}{9} - \frac{5}{12} x^{1 / 6})

.

Jetzt reicht es zu zeigen, dass

g (x) := \frac{55}{144} x^{1 / 4} + \frac{2}{9} - \frac{5}{12} x^{1 / 6} > 0

für

x > 1

. Wegen

g (1) > 0

reicht wiederum

g^{ʹ} (x) > 0

für

x > 1

zu zeigen.

Und das geht endlich direkt:

g^{ʹ} (x) = \frac{55}{576} x^{- 3 / 4} - \frac{5}{72} x^{- 5 / 6} = x^{- 5 / 6} (\frac{55}{576} x^{1 / 12} - \frac{5}{72}) > \frac{5}{72} x^{- 5 / 6} = x^{- 5 / 6} (\frac{55}{576} - \frac{5}{72}) > 0

für

x > 1

Schwalz aktiv_icon

11:37 Uhr, 14.09.2017

Ja das sieht schon nach ein bisschen Arbeit aus, werde mich gleich in Ruhe damit beschäftigen.

Dir vielen Dank für deine ganzen Mühen!

1386311

1386088

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?