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Beweisidee konvergierende Folge

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweisidee Folgen

 
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bravefencer007

bravefencer007 aktiv_icon

12:40 Uhr, 14.09.2021

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Hallo,
Was haltet ihr vom Folgenden Beweis bzw ist der Beweis schlüssig?:

Zu beweisen ist:

Für eine Folge an mit an < 0 für alle n gilt limn an=0
Zeige das es zu jedem m ein n0 mit am < an für alle n >= m0 gibt.


Beweis:

Da an < 0 für alle n und limn an=0 existiert, ist die Folge an monoton wachsend und beschränkt. Daraus folgt das an nicht die konstante Folge , die nur aus 0en besteht sein kann, da an < 0 für alle für alle n gilt.

Da an monoton wachsend ist und limn an=0 existiert, Läßt sich aus an eine beliebige streng monoton wachsende Teilfolge konstruieren, mit:

(ak)k= a1 < a2 < ...ak-1 < ak < 0 für beliebige k

Sei jetzt m beliebig.

Um zu zeigen, dass es zu jedem m ein n0 mit am < an für alle n >= m0 gibt, unterscheiden wir 3 Fälle:

1. Ist am < a1 aus der Teilfolge (ak), dann wähle n0 = a1. Somit gilt am < an für alle n >= m0.

2. Ist am = ak für ein beliebiges ak aus (ak), dann wähle n0 = ak+1. Somit gilt am < an für alle n >= m0.

3. Sei schliesslich: ak-1 < am < ak, dann wähle n0 = ak. Somit gilt am < an für alle n >= m0.

q.e.d



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:52 Uhr, 14.09.2021

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"Da an < 0 für alle n∈ℕ und limn→∞ an=0 existiert, ist die Folge an monoton wachsend und beschränkt"

Das ist schon mal falsch. Die Folge muss nicht monoton wachsend sein.
Beispiel: an=-12n+(-1)n3n.
bravefencer007

bravefencer007 aktiv_icon

13:04 Uhr, 14.09.2021

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Ja, das stimmt, danke. Wie sieht es denn insgesamt mit der Beweisidee aus? Dh die Idee ist ja, dass aufgrund der Konvergenz von an eine streng monotone Teilfolge aus an existiert (da die Folge sich ja irgendwie dem Grenzwert annähern muss).
Mit dieser Teilfolge kann ich dann das jeweilige n0 finden.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:39 Uhr, 14.09.2021

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Du musst nur ganz platt die Definition nutzen.
Sie sagt: da an0, gibt's für jedes ε>0 ein n0 mit an<ε für alle n>n0.
Nehmen jetzt ε=-am. Dann gibt's ein n0 mit an<ε=-am für alle n>n0.
Und da alle an<0, gilt an=-an, also haben -an<-am => an>am für alle n>n0.
Fertig.
bravefencer007

bravefencer007 aktiv_icon

13:56 Uhr, 14.09.2021

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Danke, daran hatte ich auch schon gedacht und das auch schon so bewiesen.
Ich wollte nur mal wissen, ob ein alternativer Beweis, so wie beschrieben, auch schlüssig ist.
Mein Argument ist ja, dass es unter Existenz des Grenzwerts eine streng monotone (unendliche) Teilfolge in an gibt. Und mit dieser Teilfolge kann ich zu jedem m ein n0 (durch Fallunterscheidung) finden.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:02 Uhr, 14.09.2021

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"Mein Argument ist ja, dass es unter Existenz des Grenzwerts eine streng monotone (unendliche) Teilfolge in an gibt. "

Das folgt sofort aus meinem Beweis.

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