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Hallo, Was haltet ihr vom Folgenden Beweis bzw ist der Beweis schlüssig?:
Zu beweisen ist:
Für eine Folge mit < 0 für alle gilt =0 Zeige das es zu jedem ein mit am < an für alle n >= gibt.
Beweis:
Da < 0 für alle und =0 existiert, ist die Folge monoton wachsend und beschränkt. Daraus folgt das nicht die konstante Folge , die nur aus 0en besteht sein kann, da < 0 für alle für alle gilt.
Da monoton wachsend ist und =0 existiert, Läßt sich aus eine beliebige streng monoton wachsende Teilfolge konstruieren, mit:
= < < ... < < 0 für beliebige
Sei jetzt beliebig.
Um zu zeigen, dass es zu jedem ein mit am < an für alle n >= gibt, unterscheiden wir 3 Fälle:
1. Ist < aus der Teilfolge , dann wähle = . Somit gilt < für alle n >= .
2. Ist = für ein beliebiges aus , dann wähle = . Somit gilt < für alle n >= .
3. Sei schliesslich: < < , dann wähle = . Somit gilt < für alle n >= .
q.e.d
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Da an < 0 für alle n∈ℕ und limn→∞ an=0 existiert, ist die Folge an monoton wachsend und beschränkt"
Das ist schon mal falsch. Die Folge muss nicht monoton wachsend sein. Beispiel: .
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Ja, das stimmt, danke. Wie sieht es denn insgesamt mit der Beweisidee aus? Dh die Idee ist ja, dass aufgrund der Konvergenz von eine streng monotone Teilfolge aus existiert (da die Folge sich ja irgendwie dem Grenzwert annähern muss). Mit dieser Teilfolge kann ich dann das jeweilige finden.
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Du musst nur ganz platt die Definition nutzen. Sie sagt: da , gibt's für jedes ein mit für alle . Nehmen jetzt . Dann gibt's ein mit für alle . Und da alle , gilt , also haben => für alle . Fertig.
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Danke, daran hatte ich auch schon gedacht und das auch schon so bewiesen. Ich wollte nur mal wissen, ob ein alternativer Beweis, so wie beschrieben, auch schlüssig ist. Mein Argument ist ja, dass es unter Existenz des Grenzwerts eine streng monotone (unendliche) Teilfolge in gibt. Und mit dieser Teilfolge kann ich zu jedem ein (durch Fallunterscheidung) finden.
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"Mein Argument ist ja, dass es unter Existenz des Grenzwerts eine streng monotone (unendliche) Teilfolge in an gibt. "
Das folgt sofort aus meinem Beweis.
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