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Randolph Esser aktiv_icon

16:57 Uhr, 08.11.2025

Hallo,

sei

Q := {e, a, b, c, d, e, f, g, h} \subset G L_{2} (ℂ)

mit

e := (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), a := (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), b := (\begin{matrix} 0 & i \\ i & 0 \end{matrix}), c := (\begin{matrix} 0 & - i \\ - i & 0 \end{matrix}),

d := (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}), f := (\begin{matrix} - i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}), g := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}), h := (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

.

Das ergibt die Verknüpfungstafel

(\begin{matrix} \cdot & e & a & b & c & d & f & g & h \\ e & e & a & b & c & d & f & g & h \\ a & a & e & c & b & f & d & h & g \\ b & b & c & a & e & g & h & f & d \\ c & c & b & e & a & h & g & d & f \\ d & d & f & h & g & a & e & b & c \\ f & f & d & g & h & e & a & c & b \\ g & g & h & d & f & c & b & a & e \\ h & h & g & f & d & b & c & e & a \end{matrix})

Q

ist eine Untergruppe von

G L_{2} (ℂ),

Beweis:

(U G 1) : Q \neq \emptyset

(insbesondere

Q \subset G L_{2} (ℂ))

(U G 2) :

An der Verknüpfungstafel sieht man, dass

x y \in Q

für alle

x, y \in Q

(U G 3) :

In jeder Spalte der Verküpfungstafel

taucht das neutrale Element

e = I_{2}

von

G L_{2} (ℂ)

(genau einmal) auf.

Also gilt

x^{- 1} \in Q

für alle

x \in Q

.

Ordnungen der Elemente von

Q :

e^{1} = e \Rightarrow o (e) = 1,

a^{1} = a, a^{2} = e \Rightarrow o (a) = 2,

b^{1} = b, b^{2} = a, b^{3} = c, b^{4} = e \Rightarrow o (b) = 4,

c^{1} = c, c^{2} = a, c^{3} = b, c^{4} = e \Rightarrow o (c) = 4,

d^{1} = d, d^{2} = a, d^{3} = f, d^{4} = e \Rightarrow o (d) = 4,

f^{1} = f, f^{2} = a, f^{3} = d, f^{4} = e \Rightarrow o (f) = 4,

g^{1} = g, g^{2} = a, g^{3} = h, g^{4} = e \Rightarrow o (g) = 4,

h^{1} = h, h^{2} = a, h^{3} = g, h^{4} = e \Rightarrow o (h) = 4

.

Untergruppen von

Q :

{e}, Q, {e, a}, {e, a, b, c}, {e, a, d, f}, {e, a, g, h}

(Man findet die Kandidaten mithilfe der für die Ordnungen angestellten
Rechnungen
und prüft mithilfe der Verknüpfungstafel.
Die sechselementigen Kandidaten

{e, a, b, c, d, f}, {e, a, b, c, g, h}, {e, a, d, f, g, h}

können so ausgeschlossen werden).

Nun meine Frage:

Hat diese (Unter-) Gruppe

Q

irgendeinen Namen in der Wissenschaft ?

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