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Beziehung Wurzel- und Quotientenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, lim, limsup, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium

mar-mat-co aktiv_icon

17:34 Uhr, 23.06.2022

Kann ich diese Folgerung aus dem Wurzelkriterium und Quotientenkriterium zeigen? Also, dass wenn das Wurzelkriterium keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz macht, dass Quotientenkriterium auch keine macht. Gilt das überhaupt allgemein?

l i m s u p ∣ a_{n}^{\frac{1}{n}} ∣ = 1 \Rightarrow l i m ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ = 1

Idee wäre ein Beweis über Kontraposition, aber wie ich da vorgehen kann, weiß ich nicht :(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000 aktiv_icon

18:11 Uhr, 23.06.2022

Naja, dazu müsstest du aber die Existenz von

lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣

überhaupt erst mal voraussetzen:

Für die Folge

a_{n} = 2 + \sin (n)

gilt gewiss

\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{∣ a_{n} ∣} = 1

, aber der Grenzwert

lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣

existiert gar nicht!

---------------------------------------------------------------

Was du aber tun kannst ist folgendes: Sei

(a_{n})

eine Folge von reellen Zahlen, sämtlich von Null verschieden. Dann folgt aus

\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{∣ a_{n} ∣} = 1

die Ungleichung

\underset{n \to \infty}{limsup} ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ \geq 1 \geq \underset{n \to \infty}{liminf} ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣

.

Daraus folgt unmittelbar

lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ = 1

, sofern der Grenzwert existiert.

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