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Beziehung Wurzel- und Quotientenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, lim, limsup, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium

 
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mar-mat-co

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17:34 Uhr, 23.06.2022

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Kann ich diese Folgerung aus dem Wurzelkriterium und Quotientenkriterium zeigen? Also, dass wenn das Wurzelkriterium keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz macht, dass Quotientenkriterium auch keine macht. Gilt das überhaupt allgemein?

limsup∣an1n∣=1⇒lim∣an+1an∣=1

Idee wäre ein Beweis über Kontraposition, aber wie ich da vorgehen kann, weiß ich nicht :(

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HAL9000

HAL9000

18:11 Uhr, 23.06.2022

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Naja, dazu müsstest du aber die Existenz von limn→∞∣an+1an∣ überhaupt erst mal voraussetzen:

Für die Folge an=2+sin(n) gilt gewiss limsupn→∞∣an∣n=1, aber der Grenzwert limn→∞∣an+1an∣ existiert gar nicht!

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Was du aber tun kannst ist folgendes: Sei (an) eine Folge von reellen Zahlen, sämtlich von Null verschieden. Dann folgt aus limsupn→∞∣an∣n=1 die Ungleichung

limsupn→∞∣an+1an∣≥1≥liminfn→∞∣an+1an∣.

Daraus folgt unmittelbar limn→∞∣an+1an∣=1, sofern der Grenzwert existiert.
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