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Beziehungen Beweisen Komplexe Zahlen

Schüler

Tags: Beweisführung

 
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Christian-

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13:15 Uhr, 08.02.2016

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Hei leute

Ich habe eine neue Frage, wo ich hilfe und Tipps brauche, jetzt ist der Übergang bei mir da.


Zeigen Sie, dass zwei komplexe Zahlen a und b genau dann beide reell oder zueinander konjugiert sind, wenn sowohl a+b als auch ab reelle Zahlen sind.


Mein Ansatz: Ich brauche einen Ansatz von euch q.q

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Respon

Respon

13:39 Uhr, 08.02.2016

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"genau dann" - man muss also den Beweis in beide Richtungen führen.
Dass die Behauptung für reele Zahlen zutrifft läßt sich aus den Körpereigenschaften von ableiten.
Seien a und b vorerst beliebige komplexe zahlen und gelten die Eigenschaften, dass (a+b)ab
a=a1+a2i
b=b1+b2i
Es gelte a+b=(a1+b1)+i(a2+b2)a2+b2=0a2=-b2
Es gelte ab=a1b1-a2b2+i(a2b1+a1b2)a2b1+a1b2=0

Setze ich nun in die zweite Gleichung a2=-b2 ein a1=b1
Also konjugiert komplex.
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Respon

Respon

13:42 Uhr, 08.02.2016

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Der Beweis in die Gegenrichtung ist einfacher.
Seien a und b konjugiert komplex ...
Christian-

Christian- aktiv_icon

15:29 Uhr, 08.02.2016

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Hmm, dann habe ich es verstanden, hört sich ziemlich leicht an.
Ich versuche mal



Wenn also (a1+a2i)+(b1+b2i) und (a1+a2i)(b1+b2i) reell sind, dann wie du sagtest, gilt dann Verständlich :a2+b2=0 und a1b2+a2b1=0

Dann müsste doch logischerweise für a2=0 folgen b2=0 heißt, a und b sind reell...

Für a20 folgt b2=-a2 und damit b1=a1 heißt, a und b sind konjugiert komplex. Also folgt aus a+b,ab, das a und b beide reell oder zueinander konjugiert sind.. ? Richtig schlussgefolgert?


Die Umkehrung ist dann offensichtlich, also, wenn a und b beide reell sind.


Es müsste dann auch im konjugierten komplexen Fall zu sehen sein, dass sowohl (a1+a2i)+(a1-a2i)=2a1 als auch (a1+a2i)(a1-a2i)=a12+a22 reelle Zahlen sind.


Kann das so stimmen? Mein Gehirn sagt ja, aber mein Gefühl ist sich unsicher , bin noch ein Einsteiger in diesem Thema, macht aber mehr Spaß irgendwie.
Christian-

Christian- aktiv_icon

07:59 Uhr, 10.02.2016

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Bekomme ich vielleicht eine Rückmeldung von dir Respon? Du warst gestern online.
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Respon

Respon

08:15 Uhr, 10.02.2016

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Um die Beweisführung zu vereinfachen und um eine Disjunktion zu vermeiden, kann man den Fall "reelle Zahl" gesondert betrachten.
An einer Stelle des Beweises - oben in der Kurzfassung nicht angeführt - MUSS man sogar festlegen, dass a20  und b20

Wir hatten
a2+b2=0a2=-b2
a2b1+a1b2=0
Ersetze ich nun a2 durch -b2, so erhalte ich
-b2b1+a1b2=0
b2(-b1+a1)=0
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist nun ENTWEDER b2=0 ODER (-b1+a1)=0  ( respektive beide ). Erst durch die Festlegung b20 ( wir betrachten also tatsächlich eine komplexe Zahl ) MUSS der zweite Faktor (-b1+a1)=0 sein, was mir die gewünschte Relation liefert.
Frage beantwortet
Christian-

Christian- aktiv_icon

17:58 Uhr, 10.02.2016

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Jo, dann habe ich das richtig gehabt, ist ja leicht gewesen dann.
Danke