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Bezout Identität von Polynomen

Universität / Fachhochschule

Tags: Bezout, ggT, Identiät, polynom

Jana203 aktiv_icon

17:26 Uhr, 13.01.2014

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimme ggT(

x^{4} + x + 1; x^{3} + x^{2})

und eine Bezout-Identität in

F 2 [x]

(F 2 [x]

ist ein Körper mit den Elementen 0 und

1,

mit Addition und Multiplikation verträglich)

Ich habe mit Polynomdivision den ggT bestimmt:

(x^{4} + x + 1) : (x^{3} + x^{2}) = x - 1

Rest:

x^{2} + x + 1

also:

x^{4} + x + 1 = (x - 1) \cdot (x^{3} + x^{2}) + (x^{2} + x + 1)

(x^{3} + x^{2}) : (x^{2} + x + 1) = x

Rest:-x
also:

x^{3} + x^{2} = x \cdot (x^{2} + x + 1) + (- x)

(x^{2} + x + 1) : (- x) = x - 1

Rest: 1
also:

x^{2} + x + 1 = (- x - 1) \cdot (- x) + 1

(- x) : (1) = - x

Rest: 0

ggT(

x^{4} + x + 1; x^{3} + x^{2}) = 1

Jetzt muss ich die Bezout-Identitäten bestimmen. Dafür habe ich

F 2

erstmal völlig außer Acht gelassen, weil ich überhaupt nicht weiß was ich damit machen soll.

Mit dem erweiterten euklidischen Alg. habe ich dann folgendes gemacht:

1 = (x^{2} + x + 1 - 8 - x - 1) \cdot (- x)

= (x^{2} + x + 1 - 8 - x - 1) \cdot ((x^{3} + x^{2}) - x \cdot (x^{2} + x + 1))

= - (- x - 1) \cdot (x^{3} + x^{2}) + 1 \cdot (x^{2} + x + 1)

Hier bin ich mir schon ziemlich sicher, dass etwas nicht stimmt, weiß aber nicht was ich falsch mache. Die 1 ist so zustandegekommen:

- (x - 1) \cdot (- x) + x^{2} + x + 1 = 1

Ich wäre für jede Hilfe dankbar!

LG Jana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Jana203 aktiv_icon

19:36 Uhr, 13.01.2014

Niemand..?

Sina86

20:28 Uhr, 13.01.2014

Hallo Jana,

dein erster Schritt (wo du erklärst, wo die

1

herkommt) ist ja richtig, auch wenn es wohl eher

- (x + 1)

heißen sollte. Da du dich aber in

F_{2}

befindest, wo

- 1 = 1

ist, macht das keinen Unterschied. Wie du in deiner Rechnung jedoch auf die erste Zeile kommst, ist mir ein Rätsel (insbesondere, wo die

8

herkommt). Aber eigentlich musst du da gar nichts ausrechnen. Der Trick beim erweiterten Alogrithmus ist, die einzelnen Ausdrücke, die im eukl. Algo zustande gekommen sind, iterativ einzusetzen. Erst, wenn die beiden Ausgangselemente (von denen man den ggT bestimmt hat) dort stehen, rechnet man die Koeffizienten zusammen (in diesem Fall sind die Koeffizienten Polynome).

Davor muss man eigentlich nichts zusammenrechnen, man muss nur die Übersicht behalten, da die Gleichung gerade bei Polynomen sehr lang wird.

Ich schlage vor, du rechnest mal "zum Spass" das ganze an einem Zahlenbeispiel nach, z.B. dem von Wikipedia zum Lemma von Bezout.

Liebe Grüße
Sina

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