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Bidualraum
Universität / Fachhochschule
Tags: natürlicher Isomorphismus
 
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Hallo, sei ein Körper und ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus (bijektive, lineare Abbildung) auf seinen Bidualraum. Siehe dazu den ersten Anhang. Ist nicht endlichdimensional, so ist diese Abbildung nur noch injektiv, aber nicht mehr surjektiv, also kein Isomorphismus. Das habe ich mir zu erklären versucht, siehe die Beweisskizze ("Beweisskizze" ist ein toller Euphemismus für einen nicht ganz elaborierten Beweis) als zweiten Anhang. Gute Erklärung oder nicht, was denkt ihr ?   |
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Nach wie vor aktuell... |
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Intuitiv okay, aber formal nicht vollständig. Du musst ein konkretes aus dem Zielraum V‘‘ konstruieren und zeigen, dass die Annahme, es läge im Bildraum (also besäße ein Urbild), zu einem Widerspruch führt. |
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Das sei die Funktion definiert durch für alle (ich denke, sie ist dadurch bereits wohldefiniert und liegt nicht im Bild von da sie das Bild eines Vektors sein müsste, der nicht definiert ist/existiert, siehe Beweisskizze). In meiner Beweisskizze sollte man die "unendlich abzählbaren Systeme" eventuell in Basen umtaufen, seien das also Basen. Wie gesagt, ist nicht elaboriert. Wer einen Link auf einen amtlichen Beweis hat, her damit, Danke... |
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ρ ist M. E. so noch nicht wohldefiniert, Die Angabe ρ(lm)=1 legt nur fest, wie ρ auf die Elemente von wirkt. Sie sagt aber nichts darüber aus, wie ρ auf Elemente in V’ wirken soll, die nicht in diesem Unterraum liegen. Du kannst nicht argumentieren, dass das Urbild ‚nicht existiert‘. Man muss annehmen, ein Urbild v∈V existiert und dann hier zeigen, dass dann unendlich viele Koeffizienten gleich 0 bezüglich der Basis haben müsste – was im Widerspruch zur Vektorraumdefinition steht. Das System …) ist . noch keine Basis von sondern muss erst zu einer solchen ergänzt werden. |
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Unsere Antworten haben sich überschnitten. Sagen wir, die "unendlich abzählbaren linear unabhängigen Systeme" seien sogar Basen, eine von und eine von und die Dualbasis zu . |
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Das rettet es auch nicht, aber ok. Ich klinke mich jetzt aus… |
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Deine Meinung, nicht meine. Unter der stärkeren Voraussetzung, dass die Systeme Basen sind (hier im geänderten Anhang), finde ich die Überlegung sehr plausibel, denn: ist wohldefiniert, da eine lineare Abbildung schon definiert ist, wenn sie auf einer Basis ihrer Definitionsmenge definiert ist. liegt nicht im Bild von Angenommen, es wäre doch so, also für ein . Dann gilt mit nur für endlich viele Indizes also für alle und ein und wir erhalten den Widerspruch für alle . Aber vielen Dank für Deine Partizipation, Jumanji.  |
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Ich hake mal ab. Wer aber noch was beitragen möchte, insbesondere irgendeinen "offiziellen" Beweis oder einen Link darauf, fühle sich frei, hier zu posten... |
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Mehrere Fehler, eine unendliche Reihe gibt es in einem algebraischen Vektorraum nicht, dazu bedarf es des Begriffs der Konvergenz. Vektoren sind immer nur als endliche Summen von Basiselementen definiert. Die Regel „Eine lineare Abbildung ist eindeutig bestimmt, wenn sie auf einer Basis definiert ist“ greift hier nicht, weil (l1,l2,…) eben keine Basis von ist, sondern nur ein echtes Teil-System. und wenn die Dimension von abzählbar unendlich ist (im Falle . dann ist der Dualraum überabzählbar unendlich dimensional (im Falle . dimV’= 2 hoch . Such mal nach den Begriffen Zorn‘sches Lemma und/oder Hamel-Basis. Ein alternativer Beweis würde genau die Dimensionen von und V‘ nutzen und DimV‘‘ zeigen und damit die Surjektivität widerlegen. Aber dafür müßte man Sätze über die Kardinalität bemühen. |
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mit nur für endlich viele ist keine unendliche Summe, weil ja eben nur für endlich viele vereinbart ist. Das ist einfach nur eine formal schlanke Schreibweise für eine endliche Linearkombination. Und ist ein Teilsystem von nicht von . Aber OK, das mit der überabzählbaren Dimension des Dualraums wusste ich nicht. Das Zornsche Lemma & Co. kenn ich schon (lang, lang her), werde ich jetzt aber nicht wiederholen (bin gerade bei Analysis 2 mit meiner Wiederholungsrallye). Ja, ist natürlich der Bringer, denn dann ist klar, dass keine Bijektion sein kann. Das muss doch irgendwo schonmal jemand aufgeschrieben haben, so richtig schön ausführlich formal gelatext. Link für die Sammlung ? |
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Ich hake mal, hoffe aber noch auf einen Link... |
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Ich exhumiere den Thread nochmal (habe jetzt gerade Muße dazu). Also, verwerfen wir mal meinen Quatsch eingangs oben und resümieren: Sei ein unendlichdimensionaler Vektorraum mit Basis und sein Dual bzw. Bidualraum. Dann gilt . Ist abzählbar unenendlich, sind also überabzählbar (abzählbar unendlich und überabzählbar sind in meiner kleinen Mathewelt bis dato die zwei "verschiedenen Sorten" von "unendlich", die ich kenne - es wird wahrscheinlich noch weitere geben) und es ist (mir) sofort klar, dass es keine Bijektion geben kann. Probleme habe ich allerdings, wenn schon überabzählbar ist. Dann kann ich nicht sofort begreifen, dass gilt. Oder anders ausgedrückt: Könnte es nicht sein, dass im überabzählbar Unendlichen diese Relationen jeden Sinn verlieren ? Wie soll man sich "überabzählbar hoch überabzählbar" vorstellen (oder noch schlimmer: "überabzählbar hoch (überabzählbar hoch überabzählbar)") ? Hierzu hätte ich gerne noch ein bisschen Futter... |
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"Ist abzählbar unenendlich, sind also überabzählbar-dimensional." statt "Ist abzählbar unenendlich, sind also überabzählbar." im Beitrag zuvor... Vergeben wir am besten noch die Bezeichner und für Basen von bze. . Dann gilt also abzählbar unendlich und überabzählbar. Dieser Fall ist (mir) klar. Aner was ist mit überabzählbar - kann man dann überhaupt noch von sprechen (siehe oben) ? |
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de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik) |
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Nun gut, da findet man ganz unten den Satz von Cantor mit der teuflischen Menge . Auch den Beweis kenn ich schon (lange her). Also ist die Potenzmenge einer Menge immer echt größer als die Menge selbst. Nun ist aber noch nicht klar, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge einer überabzählbaren Menge wie im endlichen Fall ist, bzw. welche Bedeutung überhaupt haben soll, und auch aus zu schließen, finde ich nicht selbstverständlich... |
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