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Bienen Waben

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Verteilung, Wahrscheinlichkeit

anonymous

10:02 Uhr, 06.05.2015

Hallo,
bin am Üben von Stochastik, meine Aufgabe:

n

Hongbienen werden zufällig und ohne gegenseitige Beeinflussung auf vier
Honigwaben verteilt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Wabe leer bleibt??

Wollte das zuerst mit Einschluss-Ausschluss Formel berechnen, ist aber zu lang und ich komme auf ein unmögliches Ergebnis.
Wie kann ich das noch berechnen?
Dachte zuerst an Binomialverteilung, aber das klappt irgendwie auch nicht..

Kann mir wer helfen?
Bzw. erklären wie ich diese Aufgabe am Besten angehe?

MFG lazymath

anonymous

12:28 Uhr, 06.05.2015

Hallo
Ich gehe solche Aufgaben an, indem ich mir erst mal leicht verständliche Beispiele klar mache.
Wie sieht die Wahrscheinlichkeit bei

n = 4

Bienen aus?
Das hast du in 1 Minute, und hast schon mal einen Zugang zur Aufgabe.

Dann: Wie sieht es bei

n = 5

Bienen aus?
Dann: Wie sieht es bei

n = 6

Bienen aus?
Dann sollte der Übergang zu allgemeinen Anzahlen

n

leicht zu meistern sein.
Viel Spaß!

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12:37 Uhr, 06.05.2015

Ich möchte cositan ungern ins Handwerk pfuschen, aber nur mal kurz als Drittmeinung:
Die Einschluss-Ausschluss-Methode wäre auch meine Wahl zur Lösung dieser Aufgabe.
(In einer Zeile steht alles da.)

anonymous

14:54 Uhr, 06.05.2015

Ich habe zur Einschluss Ausschluss Formel eine Frage.
Ich hätte es so gemacht

A =

Ereignis, dass alle Waben belegt sind

B =

Gegenereignis: Nicht alle Felder sind belegt

P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = P (B 4)

sind die Ereignisse, dass die i-te Wabe nicht belegt ist

(1 \leq i \leq 4)

P (A) = 1 - P (B)

Dann bin ich mir nicht mehr sicher.

P (B 1) = {(\frac{3}{4})}^{n}

oder ist das falsch?
Also auch

P (B 2) = P (B 3) = P (B 4) = {(\frac{3}{4})}^{n}

P (B 1 \cap B 2) =

? Das kann ich mir nicht vorstellen.. Was ist die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts? Ist es

{(\frac{2}{4})}^{n},

da nur die anderen zwei Fächer immer belegt werden?

P (B 1 \cap B 2 \cap B 3 \cap B 4) = {},

da der Fall nicht möglich ist, dass alle nicht belegt sind.

LG UND DANKE :-)

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15:27 Uhr, 06.05.2015

Ja, bisher ist das alles richtig!

Hast Du cositans Anregung auch mal verfolgt?

anonymous

17:49 Uhr, 06.05.2015

Im Endeffekt komme ich durch Einschluss Ausschluss Prinzip auf die Formel

P (A) = 1 - \frac{3^{n}}{4^{n - 1}} - \frac{2^{n}}{4^{n - 1}}

.

Ja, ich habe es probiert mit Werten einsetzen. Wenn ich das dann mit dem Vorschlag für

n = 4

zb ausprobiere, dann kommt etwas im negativen Bereich raus, was ja nicht möglich ist...
Ich verstehe nicht, was ich falsch mach....

LG und danke

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19:34 Uhr, 06.05.2015

Hab leider gerade nicht viel Zeit, deshalb nur kurz:

Eins.-Auss. geht hier so:

1 - (P (B 1) + P (B 2) + P (B 3) + P (B 4)) + (P (B 1 \cap B 2) + P (B 1 \cap B 3) + ...) - (P (B 1 \cap B 2 \cap B 3) + P (B 1 \cap B 2 \cap B 4) + ...)

Roman-22

20:14 Uhr, 06.05.2015

1 - 4 \cdot {(\frac{3}{4})}^{n} + 6 \cdot {(\frac{2}{4})}^{n} - 4 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}

anonymous

20:26 Uhr, 06.05.2015

Aha daran liegt es - meine Einschluss Ausschluss Formel für 4 Mengen ist falsch. Darf ich noch fragen, wie sie für 4 mengen geht also allgemein?
Leider komm ich anscheinend immer auf was falsches.
Danke euch sehr! MFG

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00:44 Uhr, 07.05.2015

Für 4 Mengen gilt:

P (A \cup B \cup C \cup D)

= P (A) + P (B) + P (C) + P (D)

- P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (A \cap D) - P ((B \cap C) - P (B \cap D) - P (C \cap D)

+ P (A \cap B \cap C) + P (A \cap B \cap D) + P (A \cap C \cap D) + P (B \cap C \cap D)

- P (A \cap B \cap C \cap D)

Für unsere Aufgabe wären

A, B, C

und

D

die von Dir definierten Mengen

B 1, B 2, B 3

und

B 4,

wobei wir uns am Ende dann ja für das Gegenereignis hiervon interessieren.

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13:50 Uhr, 07.05.2015

@cositan:
Ich hab mal versucht, Deiner Anleitung zu folgen.
Die Ergebnisse für

n = 4, n = 5

und

n = 6

habe ich mit Mühe gefunden, scheitere jetzt aber beim Übergang auf das allgemeine

n

.
Kannst Du mir bitte erklären, wie Du Dir das vorgestellt hast?

anonymous

14:06 Uhr, 07.05.2015

Hallo Matlog
Der Ansatz 'Einschluss-Ausschluss' ist schon ganz richtig.
Ich meine, dass man, wenn man sich über

n = 4,5,6

erst mal angenähert hat, genau dazu kommt.
:-)

anonymous

15:04 Uhr, 07.05.2015

Danke euch!

anonymous

16:30 Uhr, 07.05.2015

Hallo,

jetzt interessiert mich noch etwas zu der Frage;

Wenn ich wissen will, wie viel Bienen

(= n)

man braucht, um mit mind.

85 %

Whschkeit, dass kein Wabe leer bleibt, ist es am Besten einfach

n

Werte einzusetzen?

(> 4)

Oder kann ich das auch anders?

Danke euch, LG :-)

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00:46 Uhr, 08.05.2015

Ich bin sehr skeptisch, dass man hierfür eine algebraische Lösung finden kann.
Am schnellsten bist Du vermutlich mit der Ausprobiermethode fertig, obwohl das nicht wirklich elegant ist.
Sonst muss ein numerisches Verfahren ran, vielleicht über einen online-Rechner.

Roman-22

08:06 Uhr, 08.05.2015

Exakt lösen wird sich as nicht lassen. Durch reines Ausprobieren dauert es ein wenig, bis man auf die Lösung

12

kommt. Bei Benutzung eines GTR kann man sich die WKT ja in Abhängigkeit von

n

plotten lassen und so die erfolgsversprechende Stelle abhschätzen. Auch kannst du die dort idR verfügbare numerische Lösungsfunktion verwenden, die dann 11kommairgendwas liefert.

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