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Bijektive Abbildung konstruieren

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Bijektivität, Relation.

tomrb aktiv_icon

23:25 Uhr, 13.02.2018

Hallo,

ich habe folgende Relationen und Abbildungen:

(T \times U)^{S} \to T^{S} \times U^{S}

(t \cdot u)^{S} \mapsto t^{S} \cdot u^{S}

Wie gehe ich hier am besten ran, um eine bijektive Abbildung zu konstruieren?

ledum aktiv_icon

01:08 Uhr, 14.02.2018

was sind

T, U t, u

was ist das

\times;

aus welcher Menge kommen sie, in welche soll da abgebildet werden?
am besten poste die Orginalaufgabe
Gruss ledum

tomrb aktiv_icon

08:13 Uhr, 14.02.2018

Ich habe nur gegeben, dass S, T und U nichtleere Mengen sind. Ich denke mal das s, t und u Elemente der jeweiligen Mengen sind und x sollte wahrscheinlich das kartesische Produkt darstellen.

ermanus aktiv_icon

08:22 Uhr, 14.02.2018

Hallo,
vermutlich ist mit

X^{Y}

die Menge der Abbildungen von

Y

nach

X

gemeint.
Dann könnte man eine passende Abbildung auf "kanonische Weise" angeben.
Die Elementzuordnungszeile

(t \cdot u)^{S} \mapsto t^{S} \cdot u^{S}

ist für
mich jedoch gänzlich unverständlich :(
Steht die genauso in der Originalaufgabe?

Gruß ermanus

tomrb aktiv_icon

08:54 Uhr, 14.02.2018

Leider nein. Dies ist eine ältere Aufgabe, die ich zur Vorbereitung nehmen gefunden habe. :(

tomrb aktiv_icon

08:56 Uhr, 14.02.2018

Wie könnte man denn eine passende Abbildung auf "kanonische Weise" angeben? Zu jedem y aus Y existiert ein x aus X?

ermanus aktiv_icon

09:07 Uhr, 14.02.2018

Es geht hier um die sogenannte universelle Eigenschaft des kartesischen Produktes.

Zu

T \times U

gibt es zwei Projektionsabbildungen

p_{1} : T \times U \to T, (t, u) \mapsto t

und

p_{2} : T \times U \to U, (t, u) \mapsto u

,
also die Projektion auf die erste bzw. zweite Komponente.

Ist nun

f \in (T \times U)^{S}

, dann definieren wir

P (f) := (p_{1} \circ f, p_{2} \circ f)

.
Das ist ein Element von

T^{S} \times U^{S}

. Wir haben also eine Abbildung

P : (T \times U)^{S} \to T^{S} \times U^{S}

vor uns.
Nun solltest du dir überlegen, warum diese Abbildung eine Bijektion ist.

ermanus aktiv_icon

12:33 Uhr, 14.02.2018

Noch ein Tipp von mir bzgl. des Bijektionsnachweises:
Ich würde

P

nicht auf Injektivität und Surjektivität testen,
sondern eher eine Umkehrabbildung

Q : T^{S} \times U^{S} \to (T \times U)^{S}

P

angeben.

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