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Bijektive Abbildung soll soll abelsche Gruppe sein

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Sonstiges

Tags: abelsche Gruppe, bijektive Abbildung, Sonstiges, Verknüpfung

chrischen91 aktiv_icon

22:52 Uhr, 01.11.2012

Hallo,

leider hab ich auch bei dieser Aufgabe ein Problem, ich weiß leider nicht was zu tun ist.

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Sei

f : ℝ \to ℝ

eine bijektive Abbildungmit

f (1) = 0

.
Man definiert die Verknüpfung

⋆ : ℝ \times ℝ \to ℝ

a ⋆ b := f (f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1),

für alle

a, b \in ℝ

. Beweisen Sie, dass

(ℝ, ⋆)

eine abelsche Gruppe ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

07:52 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

diese Aufgabe verstehst du, die mit den Monoiden aber nicht? Eigenartig.
Nun gut, die Strategie bei dieser (wie auch bei der Monoid-Aufgabe) ist einfach: Prüfe jedes Axiom, das für das Vorliegen einer Gruppe gültig sein muss darauf, ob es in diesem Fall auch tatsächlich gültig ist.

Die Schwierigkeit besteht zunächst mal darin, dass man diese Axiome kennen muss (Vorlesung). Dann muss man die allgemein formulierten Axiome konkret auf die hier vorliegende Situation anwenden (meist die größte Schwierigkeit).
Die Probe, ob die konkrete Anwendung der Axiome auch tatsächlich gültig ist, ist dagegen meist nicht so schwierig.

Mfg Michael

chrischen91 aktiv_icon

09:56 Uhr, 02.11.2012

Wie auch bei der anderen Aufgabe ist mir die Aufgabenstellung bewusst nur der Ansatz fehlt.
Ich hab immer das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich mit der Aufgabe anfangen soll.

michaL aktiv_icon

11:10 Uhr, 02.11.2012

Hallo,

diese Antwort ist jetzt nicht nur für diese Aufgabe, sie gilt vielmehr auch für die Monoid-Aufgabe. (Diese ist übrigens einfacher als die vorliegende.)

Schreib die Axiome für das vorliegen einer Gruppe (im Falle eines Monoids eben die Monoidaxiome) auf.
Übertrage diese von der allgemeinen Situation der Definitoin auf die konkrete (hier) vorliegende Situation.

Mach das doch mal. Du lernst dadurch eine absolute Grundlage, ohne die sich ein weiteres Mathestudium kaum lohnt.

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

19:50 Uhr, 03.11.2012

chrischen, wir sollen ja beweisen dass dieser Käse 'ne abelsche Gruppe darstellt.

Ergo: Es müssen die Bedingungen einer Gruppe erfüllt werden (Assoziativität, ..., ...) und sie muss abelsch sein - siehe VL.

Was ich aber auch nicht verstehe ist, wie man z.B. auf das inverse Element kommt.

Vielleicht weiß hier das einer?

Zu finden wäre ein

a * a^{- 1} = e

In anderen Worten muss ja rechts dann

f (1) = 0

sein, also der Inhalt der Klammer muss 1 werden. Aber dann muss ja

f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) = 2

sein, weil 2 - 1 dann 1 ergibt...

Wie das gehen soll, ist mir ein Rätsel... :(

michaL aktiv_icon

12:36 Uhr, 04.11.2012

Hallo,

zunächst einmal muss man ja eh das Assoziativgesetz erledigen.
Das sieht komplizierter aus, als es wirklich ist. Aber man muss es eben machen. Sonst lernt man nix.
Danach ist das neutrale Element dran.
Zunächst muss man mal erst so eins finden!

Das würde ich gern vom OP (oder dir, jam_ang) sehen. Erst wenn man das neutrale Element hat, kann man sich sinnvoll auf die Suche nach den Inversen machen.

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

12:58 Uhr, 04.11.2012

Ich versuche mal die Assoziativität:

zu zeigen:

(a * b) * c = a * (b * c)

(f (f^{- 1} (a) + (f^{- 1} (b) - 1) * c

\overset{}{\Leftrightarrow} f (f^{- 1} (f (f^{- 1} (a) + (f^{- 1} (b) - 1) + (f^{- 1} (c) - 1)

soll das gleiche sein, wie

a * (f (f^{- 1} (b) + (f^{- 1} (c) - 1)

\overset{}{\Leftrightarrow} f (f^{- 1} (a) + (f^{- 1} (f (f^{- 1} (b) + (f^{- 1} (c) - 1))

Sieht für mich nicht gleich aus. Ist es gleich? Ich fürchte ich weiß nicht, wie bzw. ob man die jetzt zusammenfassen darf.

Neutrales Element:
zu zeigen:

a * e = a

Ich dachte:
Gesucht ist:

a * e = f (f^{- 1} (a)

Demnach müsste

(f^{- 1} (b) - 1)

Null werden. Also müsste

(f^{- 1} (b)

Eins werden. Laut Aufgabenstellung ist eine Zuordnung gegeben:

f (1) = 0

.
Deshalb müsste hier

b = e = 0

sein?

Und für das Inverse habe ich dann wie oben geschildert keine Idee mehr gehabt. :(

Danke für deine Hilfe soweit.

michaL aktiv_icon

13:57 Uhr, 04.11.2012

Hallo,

beim Assoziativgesetz fängt es an, über unterschiedlich große oder doch wenigstens unterscheidbare Klammern nachzudenken.

(a * b) * c = [f (f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1)] * c = f {f^{- 1} (x) + f^{- 1} (c) - 1}

, wobei

x = f (f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1)

gilt.

Daraus sieht man die erste Möglichkeit zur Vereinfachung:

f^{- 1} (f (\dots))

hebt sich gegeneinander auf, da

f

bijektiv ist.

Haben also:

(a * b) * = f {f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1 + f^{- 1} (c) - 1} = f {f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) + f^{- 1} (c) - 2}

Jetzt bitte

a * (b * c)

noch mal selber machen!

Das neutrale Element ist korrekt.

Das muss natürlich in die Suche nach einem Inversen einbezogen werden:

0 \overset{!}{=} a * b \overset{}{\Leftrightarrow} f (f^{1 -} (0)) = f (f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1) \overset{}{\Leftrightarrow} \dots

nach

b

auflösen, wird sicher von

a

abhängen!

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

16:21 Uhr, 04.11.2012

Super! Der zweite Teil

a * (b * c)

hat wunderbar geklappt. Hätte ich die Klammern auffälliger unterschieden, wie du schon sagtest, hätte ich auch gesehen, dass sich DOCH etwas aufhebt.

Danke!

Nun zum Inversen:

Ich habe gerade das Gefühl ich hätte eine völlig neue Art zu rechnen "erfunden". Zumindest habe ich das noch nie irgendwo gesehen und es kann auch völliger Quatsch sein, aber es geht auf! :-D) (Was nichts heißt... i know)

Und zwar:
zu zeigen

0 = a * b

f (f^{- 1} (0)) = f [f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1]

Und das, was ich mir ausgedacht habe: "Operation auf beiden Seiten: |

f^{- 1}

" Ist das erlaubt oder gegen jede Logik!? :-D)

\overset{}{\Leftrightarrow} f^{- 1} (0) = f^{- 1} (a) + f^{- 1} (b) - 1

\overset{}{\Leftrightarrow} f^{- 1} (b) = 1 + f^{- 1} (0) - f^{- 1} (a)

....|

f

\overset{}{\Leftrightarrow} b = f (1) + 0 - a

\overset{}{\Leftrightarrow} b = - a

Und die Probe geht auch auf, allerdings nach der gleichen Idee dieser f-Operationen...

P.S. Wenn das Quatsch ist, wie soll man denn sonst nach b auflösen?

michaL aktiv_icon

23:21 Uhr, 04.11.2012

Hallo,

man kann aus

f (x) = f (y)

die Gleichheit der Argumente

x = y

schließen (warum eigentlich?).
Umgekehrt geht das auch:

f^{- 1} (a) = f^{- 1} (b) \overset{}{\Leftrightarrow} a = b

. Warum sollte dir klar sein/oder wenigstens werden.

Leider kann man aber nicht schließen, dass

f

mit der Summenbildung vertauscht.
Dazu sei etwa

f : ℝ \to ℝ

;

x \mapsto x - 1

.
Diese Abbildung erfüllt die beiden Eigenschaften
(i) bijektiv zu sein und
(ii)

f (1) = 0

.

Leider gilt aber nicht

f (x + y) = f (x) + f (y)

, da

f (x + y) = x + y - 1

und

f (x) + f (y) = x - 1 + y - 1 = x + y - 2

gilt.
Wo verwendest du das?
Nun, beim Umformen der Gleichung

f^{- 1} (b) = 1 + f^{- 1} (0) - f^{- 1} (a)

. Dort steht rechts eine Summe. Du wendest (beidseitig)

f

an, rechts aber summandenweise, was eben nur unter bestimmten Voraussetzungen funktioniert.

Wie kann man nach

b

auflösen?
Genau so, wie du angefangen hast, nur die "schönen" aber leider nicht immer gültigen Rechengesetze lass eben weg.

Du erhältst dann (wenn die oben zitierte Gleichung stimmt):

b = f (1 + f^{- 1} (0) - f^{- 1} (a))

Übrigens:

f^{- 1} (0)

kann man auswerten, da ja

f (1) = 0

gelten soll!

> Ich habe gerade das Gefühl ich hätte eine völlig neue Art zu rechnen "erfunden".
Nein, eigentlich hast du das immer schon so gemacht. Dir fällt es nur mit dieser Schreibweise jetzt genauer auf. Sorry. Trotzdem bringt dich diese Erkenntnis eine Stufe weiter (weg vom Schulrechnen, hin zur Mathematik).

Mfg Michael

jamang aktiv_icon

00:41 Uhr, 05.11.2012

Jaaa, das geht auch auf!!!

"man kann aus f(x)=f(y) die Gleichheit der Argumente x=y schließen (warum eigentlich?)."
Weil die Funktion nach Voraussetzung bijektiv ist und wenn zwei Werte aus dem Definitionsbereich auf dasselbe Bildelement abbilden, müssen sie gleich sein, sonst wäre das ein Verstoß gegen die implizierte Injektivität.

...Das Einzige was mich noch wundert ist die Form die b als inverses Element zum Schluss dann annimmt. Ich hätte gedacht es kommt sowas wie -a oder a+3 oder so raus. b ist dann aber =

f (- f^{- 1} (a) + Z a h l)

... Das kann uns aber egal sein?

Du bist sehr hilfreich!
Vielen Dank dafür.

michaL aktiv_icon

11:49 Uhr, 05.11.2012

Hallo,

denke auch, dass Injektivität ausreicht.

Welche Form das Inverse hat, ist tatsächlich egal, solange es nur für jedes Element eins gibt.

Ist noch was offen?

Mfg MIchael

jamang aktiv_icon

13:03 Uhr, 05.11.2012

Nein, nichts mehr unklar. Thread kann meinetwegen geschlossen werden, aber ich bin nicht der TO.
Vielen Dank für deine Hilfe.

chrischen91 aktiv_icon

17:50 Uhr, 05.11.2012

Vielen dank. Du hast mir auch sehr geholfen.

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