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Bijektive Abbildung zwischen NxNxN -> N

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Tags: Abbildung, Bijektion, Funktion

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Pecolli

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14:04 Uhr, 07.11.2019

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Ich muss für morgen eine Abbildung zwischen NxNxN nach

N (N

sind natürliche Zahlen) konstruieren. Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich das machen kann und ich weiss nicht wie es praktisch aussehen kann.

Ich hab ein bisschen die Mitschriften von meine Vorlesung gesehen und im Internet nachgeschaut. Ich verstehe dass diese sind zwei gleichmächtige Menge und theoretisch kann man eine Bijektive Abbildung konstruieren und auch das irgendwie die NxNxN kann als ein tripel geschrieben werden. Aber ansonsten verstehe ich überhaupt es nicht.

Wenn mir jemand ein praktisches Beispiel und eine Erklärung geben könnte um wirklich zu verstehen wie man das machen kann sodass ich das auch im Laufe des Studiums nutzen kann, wäre ich unendlich dankbar.

LG

Pecolli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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ledum

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02:18 Uhr, 08.11.2019

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Hallo
Versuchs mal mit

n 1 + n 2^{2} + n 3^{3}

aber genau hab ich nicht überlegt
edit, leider falsch denn

z . b

. 1 erreicht man mit

(0,0,1)

und

(1,0,0)

Gruß ledum

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ermanus

ermanus aktiv_icon

09:34 Uhr, 08.11.2019

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Hallo,
eine injektive Abbildung

f : ℕ^{3} \to ℕ

sollte wohl ausreichen, da eine Teilmenge von

ℕ

sicher
abzählbar ist, und man dann ja eine Bijektion

ℕ^{3} ≃ f (ℕ^{3}) \subseteq ℕ

hat.
Definiere

f (r, s, t) = 2^{r} 3^{s} 5^{t}

. Diese Abbildung ist injektiv wegen
der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Solche Abbildungen nennt
man Gödelisierungen.
Gruß ermanus

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HAL9000

10:45 Uhr, 08.11.2019

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Wie kann man EXPLIZIT eine Bijektion

f_{m} : ℕ_{0}^{m} \to ℕ_{0}

basteln?

Sei

s_{m} := \sum_{k = 1}^{m} n_{k}

die Summe der Elemente des zuzuordnenden Tupels

(n_{1}, \dots, n_{m})

. Eine Möglichkeit der Konstruktion besteht darin, zunächst alle Tupel mit Elementsumme

s_{m} = 0

, dann die mit Summe 1, dann 2 usw. hintereinanderweg anzuordnen, das kann man mit

f ((n_{1}, \dots, n_{m})) = \sum_{k = 1}^{m} (\binom{s_{k} + k - 1}{k})

erreichen. Bezogen auf

m = 3

bedeutet das

f ((n_{1}, n_{2}, n_{3})) = n_{1} + \frac{1}{2} (n_{1} + n_{2}) (n_{1} + n_{2} + 1) + \frac{1}{6} (n_{1} + n_{2} + n_{3}) (n_{1} + n_{2} + n_{3} + 1) (n_{1} + n_{2} + n_{3} + 2)

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ermanus

ermanus aktiv_icon

11:44 Uhr, 08.11.2019

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@HAL9000: super! Ebenfalls auf diesem Weg ist mir leider die Luft ausgegangen ;-)

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HAL9000

13:28 Uhr, 08.11.2019

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Die Umkehrfunktion

f^{- 1}

ist dann nicht mehr so einfach angebbar: Zu gegebenem Funktionswert

y

setzt man dann

y_{m} := y

und weiter dann sukzessive für

k = m, m - 1, \dots, 2, 1

s_{k} := max {s \in N_{0} ∣ (\binom{s + k - 1}{k}) \leq y_{k}}

sowie

y_{k - 1} := y_{k} - (\binom{s_{k} + k - 1}{k})

,

damit ist dann

f^{- 1} (y) = (s_{1}, s_{2} - s_{1}, s_{3} - s_{2}, \dots, s_{m} - s_{m - 1})

.

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