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Bijektive Abbildungen bei Gruppen (G,*)?
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Determinanten
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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinanten, Eigenwert, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Vektorraum
 
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Sei (G,°) eine Gruppe. Fur ein gegebenes a ∈ G definieren wir die Abbildung τ : G → G, x → x ° a. Zeigen Sie, dass die Abbildung τ bijektiv ist. Anmerkung: Diese Abbildung wird Rechtstranslation genannt. ° - heißt verknüpft :-) Das ist die Aufgabe. Ich habe schon versucht sie zu lösen, bin auf diese Seite gestoßen www.mathe.tu-freiberg.de~hebisch/cafe/algebra/translationen.html), die beschreibt, wann so eine Abbildung injektiv ist. Das habe ich auch gezeigt und ist alles sehr gut aufgegangen. Meine Frage ist, wie zeige ich, dass meine Abbildung auch surjektiv ist (Def. von Bijektivität). Und noch eine Frage, was soll zur Hölle ein Gruppoid sein?!?!?! Hier meine Lösung zu Injektivität: Wir wissen, dass (G,°) eine Gruppe ist, das heißt, sie ist: eine alg. Struktur, assoziativ, hat mindestens ein neutrales Element und mindestens ein Inverses Element. Wir wissen aus der Assoziativität: r(x)=a∗x=x∗a Die Injektivität gilt genau dann, wenn a links- und bzw. rechtskürzbar ist (laut Link - siehe oben) => a°x=x°a , für alle x element G => a°x=a°y <=> x=y und a°x=a°y <=> x=y Daraus folgt r(x) ist injektiv .....was nun mit der Surjektivität :-D) Danke im Vorraus lg, Leo Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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