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Bijektive Abbildungen zwischen Mengen
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 18:01 Uhr, 28.10.2006  |
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Hi, ich habe leider keine Ahnung, wie ich die folgende Aufgabe lösen kann und bitte daher dringend um Hilfe: Zwischen welchen der folgenden Paare von Mengen gibt es bijektive Abbildungen? a) N und Z (natürliche und ganze Zahlen) b) N und N x {1,...,n}, n aus N c) N und N x N d) N und Q (rationale zahlen) Falls ihr euch damit auskennt, wäre ich dankbar, wenn ihr vielleicht eine Begründung angeben könntet (warum/warum nicht) Danke schonmal im voraus MfG |
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ich kenn mich zwar nicht so gut aus, aber ich weiß, dass bijektive abbildungen eineindeutg sein müssen. d.h. jedes element der einen menge muss genau ein element der anderen menge abbilden (und nicht mehr und nicht weniger) und genau so muss das aber auch mit der mengenvertauschung sein. also auch rückwärts. und demnach wäre MEINER MEINUNG NACH (auf die man sich keinenfalls verlassen sollte) keine dieser abbildungen, außer N bildet NxN ab, eine Bijektion. mal sehen, ob jemand mal sagt, ob dass richtig ist |
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anonymous 18:40 Uhr, 28.10.2006 |
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Hallo, tatsächlich existiert in jedem der Fälle eine Bijektion. Ich werde eventuell später nochmal darüber nachdenken und dir diese in einigen der Fälle nennen. Du kannst dich ja in der Zwischenzeit mal mit der "Abzählbarkeit" von Mengen vertraut machen. |
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Zwischen N und Z gibt es eine Bijektion, zB f: N -> Z x |-> ((-1)^x) * (x div 2) somit f(1)=0; f(2)=1; f(3)=-1; f(4)=2; f(5)=-2... und so weiter. Man sieht, dass "ganz Z" erreicht wird. Auch zwischen N und Q lässt sich so eine Bijektion konstruieren, findest du bestimmt im Internet was zu. |
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anonymous 12:29 Uhr, 29.10.2006 |
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Hallo nochmal, Vielleicht hast du mittlerweile schon herausgefunden, dass genau dann eine bij. Abbildung zwischen einer Menge und den natürlichen Zahlen existiert, wenn sie abzählbar (unendlich) ist. Das heißt anschaulich, dass du lediglich eine Möglichkeit finden musst, wie du die Elemente in einer bestimmten Reihenfolge auflisten kannst, ohne dabei welche auszulassen (das enstspricht dann der Bijektion, wenn man dem ersten Element die 1, dem zweiten die 2, usw. zuordnet). Ich denke, das wird hier auch als Begründung reichen. Das sähe dann etwa so aus: a) wurde schon genannt c) So lassen sich alle Elemente von IN x IN auflisten. (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),... (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),... (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),... (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),... ... ... ... Jetzt fehlt nur noch eine Abzählvorschrift. Und die sähe so aus: (1,1),(1,2),(2,1),(3,1),(2,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,2)(4,1),(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5),... Wenn man sich das mal mit Pfeilen aufzeichnet sieht man das System recht gut. (oder einfach hier schauen: de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Diagonalisierung). b) folgt dann aus c), weil es eine Teilmenge von IN x IN ist und folglich auch abzählbar oder endlich ist. d) folgt auch aus b), denn 1) die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar (Falls du das beweisen möchtest ein Hinweis: Die natürlichen Zahlen lassen sich in zwei Klassen einteilen - gerade und ungerade) 2)Es gibt eine bij. Abbildung von IN nach IQ+ und IQ- (pos. und neg. rationale Zahlen) Folglich ist IQ als Vereinigung der abzählbaren Mengen IQ+,IQ- und {0} wieder abzählbar. |
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anonymous 14:56 Uhr, 28.11.2006 |
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<quote>Zwischen N und Z gibt es eine Bijektion, zB f: N -> Z x |-> ((-1)^x) * (x div 2) somit f(1)=0; f(2)=1; f(3)=-1; f(4)=2; f(5)=-2... und so weiter. Man sieht, dass "ganz Z" erreicht wird.</quote> Meine Frage: Was bedeutet das "div"? |
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Hi, ich hab mir das so überlegt: mit element Die Folge sieht so aus: gerade ungerade gerade ungerade Also: ist eine Bijektion von auf ps: Ich hoffe das stimmt so |
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