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Bijektive lineare Abbildung, Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

03:22 Uhr, 03.01.2015

Hallo allerseits,

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei

f : V \to W

eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei

K

-Vektorräumen

V

und

W

.
Zeigen Sie, dass auch die Umkehrfunktion von

f

linear ist.

anonymous

06:12 Uhr, 03.01.2015

Hey,

setz mal bei

f^{- 1} (λ \cdot f (x) + μ \cdot f (y))

mit

λ, μ \in K; x, y \in V

.

an. Selbstverständlich sind ja

f (x), f (y) \in W

. Du musst nur ein wenig umformen und nutzen, dass

f

bereits linear ist.

Grüße

16:28 Uhr, 03.01.2015

Danke, Allrik

v_{1} = f^{- 1} (f (v_{1}),

v_{2} = f^{- 1} (f (v_{2}) \in V,

λ \in K

und

f (v_{1}), f (v_{2}) \in W

f

ist linear, zu zeigen

f^{- 1}

ist linear:

1 .

f^{- 1}

ist additiv

f^{- 1} (f (v_{1}) + f (v_{2})) = f^{- 1} (f (v_{1} + v_{2})) = f^{- 1} (f (f^{- 1} (f (v_{1})) + f^{- 1} (f (v_{2}))) = f^{- 1} (f (v_{1})) + f^{- 1} (f (v_{2}))

2 .

f^{- 1}

ist homogen

f^{- 1} (λ \cdot f (v_{1})) = f^{- 1} (f (λ \cdot v_{1})) = λ \cdot v_{1} = λ \cdot f^{- 1} (f (v_{1}))

Ist das richtig?

Grüße

anonymous

20:46 Uhr, 03.01.2015

Hey,

ich dachte eher an soetwas:

f^{- 1} (f (v_{1}) + f (v_{2})) = f^{- 1} (f (v_{1} + v_{2})) = v_{1} + v_{2} = f^{- 1} (f (v_{1})) + f^{- 1} (f (v_{2}))

Verstehst Du, wie ich das meine?

Grüße

22:06 Uhr, 03.01.2015

Ja, danke.

So habe ich die Homogenität gezeigt.

f^{1} (λ \cdot f (v_{1})) = f^{1} (f (λ \cdot v_{1})) = λ \cdot v_{1} = λ \cdot f^{- 1} (f (v_{1}))

Ich dachte, es macht keinen Unterschied, wann ich

v = f^{- 1} (f (v))

einsetze.

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