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Bijektivität der Umkehrabbildung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Abbildung, Funktion, umkehrabbildung

nanahä aktiv_icon

08:47 Uhr, 11.05.2016

Hi Leute
es geht um die Aufgabe

ist

f

bijektiv, so ist

f^{- 1}

bijektiv mit

{(f^{- 1})}^{- 1} = f

kommt mir auf jeden fall logisch vor aber ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das beweisen soll...

ich freu mich wenn jemand antwortet!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

09:18 Uhr, 11.05.2016

Beweise getrennt Injektivität und Surjektivität.
Beide Eigenschaften gelten übrigens immer für

f^{- 1}

, auch wenn

f

nicht bijektiv ist. Aber

f^{- 1}

muss existieren, natürlich (dafür muss

f

auf jeden Fall injektiv sein).

nanahä aktiv_icon

09:38 Uhr, 11.05.2016

also

f

ist bijektiv setzen wir vorraus,

d . h

. für

f

gilt

\forall x \in X \exists! y \in Y : f (x) = y

und

\forall y \in Y \exists! x \in X : f^{- 1} (y) = x

f^{- 1}

soll jetzt auch bijektiv sein, also soll gelten

1.

\forall y \in Y \exists! x \in X : f^{- 1} (y) = x

und das gilt ja schon nach Voraussetzung
und 2.

\forall x \in X \exists! y \in Y : {(f^{- 1})}^{- 1} (x) = y

und wir sollen zeigen dass

{(f^{- 1})}^{- 1} = f

ist...
aber ich weiß nicht wie

DrBoogie aktiv_icon

09:50 Uhr, 11.05.2016

"auch bijektiv sein, also soll gelten"

Keine Ahnung, woher Du das hast.

Bijektiv <=> injektiv und surjektiv.

g

injektiv <=> (

x \ n e q y

g (x) \ n e q g (x)

)

g

surjektiv <=>

\ f o r a l l y \ e x i s t s x

mit

g (x) = y

(f^{- 1})^{- 1} (x) = f (x)

, weil

f^{- 1} (f (x)) = x

nanahä aktiv_icon

10:13 Uhr, 11.05.2016

na das hab ich doch aus der aufgabenstellung.

f

ist bijektiv und wir sollen zeigen das

f^{- 1}

auch bijektiv ist. die eigenschaften für injektivität und surjektivität hab ich doch unter 1. und 2. aufgeschrieben.
aber wieso nimmst du

g

DrBoogie aktiv_icon

10:16 Uhr, 11.05.2016

"eigenschaften für injektivität und surjektivität hab ich doch unter 1. und 2. aufgeschrieben"

Nein, Du hast etwas Anderes aufgeschrieben, ich weiß nicht, was. Was Injektivität und Surjektivität in Wirklichkeit bedeuten, habe ich oben geschrieben.

"aber wieso nimmst du g ?"

Ist doch egal, ist nur eine Bezeichnung. Kannst auch

f

oder

h

oder was auch immer nehmen.

nanahä aktiv_icon

10:48 Uhr, 11.05.2016

naja ok, bin zwar der meinung dass ich injektivität und surjektivität richtig definiert hab ist aber auch egal,
aber vielen dank für deine hilfe

nanahä aktiv_icon

22:38 Uhr, 11.05.2016

ok ich hab jetzt verstanden was du meintest. ich hab angenommen das

f

und

f^{- 1}

bijektiv sind obwohl man das ja zeigen soll... naja ich versuch mich jetzt nochmal dran

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