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Bijektivität einer Funktion im Interval prüfen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Abbildung, bijektive Abbildung, Funktion

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15:57 Uhr, 25.12.2015

Hallo. Gegeben ist die Funkionsvorschrift

f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

Nun soll unter der Verwendung der Definitionen für injektiv und surjektiv gezeigt werden, dass die Menge der nichtnegativen reelen Zahlen bijektiv auf das halboffene Intervall

(0,1)

abgebildet wird.

Zunächst einmal die Frage, wie zeige ich das unter Verwendung der Definition für alle reellen Zahlen? Ich habe es so gemacht, dass ich die Umkehrfunktion gebildet habe:

f^{- 1} (y) = \sqrt{\frac{1 - y}{y}}

und hier erkennt man, dass die Funktion bijektiv ist für

R_{+} \to (0,1]

.

Außerdem wird in der Aufgabe noch gefragt, was denn an der Aussage dieser Aufgabe erstaunlich sei. Was ist denn an dieser Aussage so erstaunlich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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16:00 Uhr, 25.12.2015

Wenn man den Graphen nämlich zeichnet (wie in der Aufgabe empfohlen), geht er nach +unendlich und -unendlich gegen 0 und hat bei 1 den höchsten Punkt. Was daran besonders ist kann ich jetzt nicht sagen.

DrBoogie aktiv_icon

10:36 Uhr, 26.12.2015

"Was ist denn an dieser Aussage so erstaunlich?"

Gemeint ist vermutlich, dass dadurch gezeigt wird, dass

(0, 1)

und

(0, \infty)

gleichmächtig sind (weil eben bijektiv aufeinander abbildbar). Obwohl eine Menge beschränkt und andere nicht ist.

Was die Bijektivität angeht, so wird sie meistens einfach in zwei Schritten gezeigt: Injektivität und Surjektivität.
1. Injektivität:

\frac{1}{1 + x_{1}^{2}} = \frac{1}{1 + x_{2}^{2}}

1 + x_{1}^{2} = 1 + x_{2}^{2}

x_{1}^{2} = x_{2}^{2}

x_{1} = x_{2}

, weil nur positive Zahlen in Frage kommen. Also, injektiv.
2. Surjektivität: sei

y \in (0, 1)

beliebig, die Gleichung

y = \frac{1}{1 + x^{2}}

hat eine Lösung

x

aus

(0, \infty)

y = \frac{1}{1 + x^{2}}

1 + x^{2} = \frac{1}{y}

x^{2} = \frac{1}{y} - 1

x = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}

ist so eine Lösung, weil

\frac{1}{y} - 1 > 0

. Also, surjektiv.

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13:14 Uhr, 26.12.2015

Das war hilfreich, danke.

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