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Bijektivität einer Funktion in C zeigen

Schüler

Tags: Abbildungen (Funktionen), Komplexe Zahlen

 
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informatikstudent_123

informatikstudent_123 aktiv_icon

23:54 Uhr, 01.11.2015

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Hallo liebe Forenmitglieder,
Ich muss Zeigen, dass folgende Abbildung bijektiv ist:
f:C→C
f(z)=-1+i(z-1)

Ich kann zwar die Definitionen für Injektivität und Surjektivität anwenden und hinschreiben (ich verstehe die Definitionen auch), doch ich weiß nicht wie ich da etwas zeigen soll. Jedenfalls sind Definitions- und Wertemenge identisch, was ja schon mal Voraussetzung für Surjektivität ist. Aber wie genau soll ich diese Eigenschaften zeigen?

Ich hab gedacht vielleicht kann mir ein Funktionsgraph in WolframAlpha weiter helfen, doch das konnte nix damit anfangen.

Für Gedankenanstöße wäre ich sehr dankbar!

Freundliche Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Fabienne-

Fabienne- aktiv_icon

23:59 Uhr, 01.11.2015

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Hi,

es ist keine Voraussetzung für die Surjektivität, dass der Wertebereich und Definitionsbereich einer Funktion übereinstimmt.

Meiner Meinung nach ist deine Funktion nicht bijektiv, da sie eben nicht surjektiv ist.
Dazu müssten alle komplexen Zahlen "getroffen" werden.
Es werden aber nur alle komplexen Zahlen mit Realteil (-1) getroffen.

Ich hoffe ich vertue mich gerade nicht...
informatikstudent_123

informatikstudent_123 aktiv_icon

00:13 Uhr, 02.11.2015

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Die Aufgabenstellung ist so definiert, dass von einer Bijektivität ausgegangen wird, die es zu zeigen gilt.
Antwort
Fabienne-

Fabienne- aktiv_icon

00:15 Uhr, 02.11.2015

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Aufgabenstellungen können auch Fehler enthalten.

Meiner Meinung nach ist die Funktion nicht bijektiv. Da die Aufgabenstellung aber lautet es nachzuweisen bin ich mir selber unsicher.
Du solltest daher noch auf die Meinung anderer warten.

Wie gesagt sollten nur komplexe Zahlen mit Realteil (-1) getroffen werden.
Dann fehlen eine ganze Menge.

Weiterhelfen kann ich dir an dieser Stelle leider nicht mehr. Daher verabschiede ich mich aus dem Thread.
Antwort
Fabienne-

Fabienne- aktiv_icon

00:18 Uhr, 02.11.2015

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Ach, ich erzähle Blödsinn. z ist ja eine komplexe Zahl.

Mit z=x+iy

ist dann f(z)=-(1+y)+i(x-1).

Also Realteil -(1+y) und Imaginärteil (x-1).
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oculus

oculus aktiv_icon

16:47 Uhr, 02.11.2015

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Hallo,
ich will dir noch schnell den Beweis für die Bijektivität nachtragen.

Da nach Fabienne f(z)=-(1+y)+i⋅(x-1) ist, muss man zur Injektivität zeigen, dass verschiedene z-Werte auch verschiedene
f(z)-Werte haben, d.h man muss zeigen:
ist z1≠z2, dann ist auch f(z1)≠f(z2). Da man mit dem Ungleichzeichen ≠ mathematisch nicht so gut arbeiten kann wie mit dem Gleicheitszeichen, beweist man logisch äquivalent:
Wenn f(z1)=f(z2) dann ist auch z1=z2.
Somit gilt in diesem Fall:
f(z1)=f(z2)⇔-(1+y1)+i⋅(x1-1)=-(1+y2)+i⋅(x2-1).
Und da zwei komplexe Zahlen genau dann gleich sind, wenn auch ihre Realteile und Imaginärteile gleich sind, kann man
fortsetzen
⇔-(1+y1)=-(1+y2) und x1-1=x2-1⇔y1=y2 und x1=x2⇔z1=z2.

Nun zur Surjektivität:
Es ist zu zeigen, dass es zu jedem Element w des Wertvorratsbereichs, also hier ℂ, es im Definitionsbereich, hier ebenfalls ℂ, ein Elememt z gíbt, so dass w das Bild (oder der Funktionswert) von z ist.

Sei also w∈ℂ; Dann lässt sich w darstellen als w=a+i⋅b. Du kannst nun selbst ausrechnen, dass die Zahl z=(1+b)-i⋅(1+a) als Bild (Funktionswert) die Zahl w=a+i⋅b hat, dass also f(z)=w ist.

oculus
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