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Bijektivität nachweisen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: bijektiv, bijektive Abbildung, Bijektivität, Identiät, Linear Abbildung

anonymous

00:47 Uhr, 05.11.2015

Hallo :-)

ich hab eine Frage/ Aufgabe zur Bijektivität. Aufgabe anbei als Bild. Wer kann mir dabei helfen?

Leider muss ich zu morgen das Ergebnis haben und ein großer Ansatz ist das von mir auch nicht wirklich., aber ich arbeite das nach! Ich bin kein Fauli. Hab heute schon einmal von Grundauf begonnen ab Menge, bis hin zum Körper alles durch gearbeitet und aufbereitet. Jetzt haben wir mit Vektorräumen angefangen. und das ist noch die letzte Übung die mir bleibt. Das nächste sind direkt Abbildungen, was ich durch nehme.

bijektiv = injektiv + surjektiv.
-> zu jedem Element in der Zielmenge gibt es genau ein Element in der Definitionsmenge.

surjektiv:=

\forall

b_{i} \in B

\exists a_{j} \in A : f (a_{j}) = b_{i}

<=> f ist surjektiv
-> wenn ich alles einsetze, bekomme ich auch mindestens 1x alles raus. einige Objekte können mehrmals getroffen werden.

injektiv:=

\forall

a_{i}, a_{j} \in A

mit

a_{i} \neq a_{j} : f (a_{i}) \neq f (a_{j})

-> unterschiedlicher Startwert, unterschiedliche Ergebnisse

Soweit klar. Sind ja nur Definitionen, muss man als Anfänger dennoch erst mal verstehen :-)

zu Aufgabe a hab ich folgendes:

(G, *)

ist eine Gruppe mit der Verknüpfung Multiplikation

λ_{g} (x * y) = g (x * y) = g * x * y

λ_{g} (x) * λ_{g} (y) = (g * x) * (g * y) = g * x * g * y

λ_{g} (x * y) = λ_{g} (x) * λ_{g} (y)

<=> g*x*y = g*x*g*y
<=> e = g

fertig. reicht das? und Aufgabe b weiß ich nicht wie ich das anfangen soll :/
G projiziert auf G. das ist ja noch einleuchtend, aber dann hörte auf :/

Danke schon mal! Ich hoffe, dass ich mit meinem Wunsch nicht etwas zu dreist wirke. Ich arbeite das aber nach (muss ich ja, sonst wird das nichts mit gut sein :-D)

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

09:51 Uhr, 05.11.2015

a) ist bei Dir eigentlich richtig, nur würde ich etwas ausführlicher am Ende schreiben:

Wenn

l_{g}

ein Homom. ist, muss für alle

x, y

gelten

l_{g} (x \cdot y) = l_{g} (x) \cdot l_{g} (y) = > g \cdot x \cdot y = g \cdot x \cdot g \cdot y

=> (multipliziere links mit

g^{- 1}

) =>

x \cdot y = x \cdot g \cdot y

=> (multipliziere links mit

x^{- 1}

) =>

y = g \cdot y

- gilt immer noch für alle

y

. Wegen Eindeutigkeit des neutralen Elements gilt also

g = e

.

b)

φ_{g} (x \cdot y) = g \cdot x \cdot y \cdot g^{- 1} = g \cdot x \cdot g^{- 1} \cdot g \cdot y \cdot g^{- 1} = (g \cdot x \cdot g^{- 1}) \cdot (g \cdot y \cdot g^{- 1}) = φ_{g} (x) \cdot φ_{g} (y)

φ_{g}

ist ein Homom.

φ_{g} (x) = φ_{g} (y)

g \cdot x \cdot g^{- 1} = g \cdot y \cdot g^{- 1}

=>(multipliziere links mit

g^{- 1}

) =>

x \cdot g^{- 1} = y \cdot g^{- 1}

=>(multipliziere rechts mit

g

)=>

x = y

. Also,

φ_{g}

injektiv.

Sei

y

beliebig, dann gilt

φ_{g} (g^{- 1} \cdot y \cdot g) = g \cdot g^{- 1} \cdot y \cdot g \cdot g^{- 1} = y

φ_{g}

ist surjektiv.

Damit ist

φ_{g}

bijektiv.

Beispiel der Gruppe:

2 \times 2

-Matrizen mit

\det \neq 0

. Als

g

z.B. die Matrix

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11

anonymous

21:42 Uhr, 07.11.2015

danke :-)

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