Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bijektivität und Injektivität

Bijektivität und Injektivität

Schüler

Tags: Frage

Christian- aktiv_icon

18:00 Uhr, 26.04.2021

Hallo,

der Unterschied zwischen den beiden Abbildungen liegt doch in der Mächtigkeit der Definition- und Zielmenge. Richtig?
Eine bijektive Abbildung hat eine Definitionsmenge und Zielmenge, wobei dieselbe Mächtigkeit gegeben ist.
Eine injektive Abbildung hat eine Definitionsmenge und Zielmenge, wobei nicht unbedigt diese Mengen die gleiche Mächtigkeit haben müssen.

Kann ich es so sagen?

Und eine Sache noch. Ich habe ja gesagt
,,wobei nicht unbedigt diese Mengen die gleiche Mächtigkeit haben müssen."

Wenn sie aber die gleiche Mächtigkeit haben, dann ist das automatisch eine Bijektion, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

11:42 Uhr, 04.05.2021

Statt Zielmenge meinst du hier sicher Bildmenge. Und für die Umkehrung ist wichtig, dass die Mengen endlich sind. Also eine surjektive Abbildung

f : ℝ \to ℝ

muss zum Beispiel nicht bijektiv sein.

anonymous

23:08 Uhr, 04.05.2021

Hallo Christian,

Aussagen über Eigenschaften von Abbildungen
anhand der Kardinalitäten ihrer Definitions-,
Ziel- bzw. Bildmengen (Bildmenge

\subset

Zielmenge,
aber nicht unbedingt Bildmenge = Zielmenge)
sind nur bedingt möglich.

Du solltest zunächst wirklich die Definitionen so,
wie sie sind, kennen und nutzen.
So kommt mit der Zeit Eines zum Anderen und
die Zweifel weichen Klarheit.

Hier zwei Schnipsel, einmal zum Begriff der Abbildung
und eine weiterer zu Bijektivität & Co...

Wenn Du Fragen hast, versuche,
sie so exakt wie möglich zu formulieren.

Noch was, was ich aber nur zähneknirschend kommuniziere,
da wir dann über die Kardinalität von endlichen,
abzählbar unendlichen oder überabzählbar unendlichen Mengen
zu reden beginnen, ohne dass dafür ein Fundament gesetzt wurde:

Der Wikipedia-Artikel "Bijektive Funktion"

de.m.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion#:~:text=Bijektivit%C3%A4t%20(zum%20Adjektiv%20bijektiv%2C%20welches,Eigenschaft%20von%20Abbildungen%20und%20Funktionen.

lehrt ja, dass bei Bijektivitität Ziel- und Wertemenge
gleichmächtig sind, aber daraus folgt nicht der Umkehrschluss.
Soll heißen

Abbildung bijektiv

\Rightarrow

Definitions- und Zielmenge gleichmächtig,

aber nicht

Definitions- und Zielmenge gleichmächtig

\Rightarrow

Abbildung bijektiv.

Kannst Du ein Beispiel dafür formulieren ?

anonymous

23:31 Uhr, 08.05.2021

f : {0,1} \to {0,1}

mit

f (0) := f (1) := 0

hat identische Definitions- und Zielmenge mit

| {0,1} | = 2,

ist aber weder surjektiv noch injektiv und also auch nicht bijektiv.

g :] - 1, 1 [\to] - \infty, \infty [, x \mapsto g (x) := \frac{x}{1 - | x |}

ist bijektiv, denn für

y \in] - \infty, \infty [

gilt

g (x) = y

genau für

\frac{y}{1 + | y |} = : x \in] - 1, 1 [

.

Das mag den Laien verblüffen, da man ja

] - 1, 1 [

als echte Teilmenge von

] - \infty, \infty [

naiv für "kleiner" bzw. "weniger mächtig" halten könnte...

anonymous

14:46 Uhr, 29.06.2021

Hallo,

ich muss den Thread hier nochmal kurz exhumieren,
denn in meinem ersten Beitrag sollte es

"...lehrt ja, dass bei Bijektivität Definitions- und Zielmenge
gleichmächtig sind..."

statt

"...lehrt ja, dass bei Bijektivität Ziel- und Wertemenge
gleichmächtig sind..."

heißen. Das muss ich korrigieren, sonst machte ich mich
der Scharlatenerie schuldig, wofür sich die jungen
Menschen dann später bitterböse rächen würdeten...

Anbei eine weitere verblüffende bijektive Funktion mit Beweis.

f : (0,1) \to R, x \mapsto \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{x}

ist bijektiv.

Injektivität folgt aus

(\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{x})' = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{1}{x^{2}} > 0 \forall x \in (0,1)

.

Zur Surjektivität:

\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{x} = \frac{2 \cdot x - 1}{x \cdot (1 - x)} = y \in R

\Rightarrow - y \cdot x^{2} + y \cdot x = 2 \cdot x - 1 \Rightarrow - y \cdot x^{2} + (y - 2) \cdot x + 1 = 0

.

Falls

y = 0,

folgt schon

x = \frac{1}{2}

.

Falls

y \neq 0,

geht es zunächst weiter mit ("Ansatz per

p q

-Formel")

- y \cdot x^{2} + (y - 2) \cdot x + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{2 - y}{y} \cdot x - \frac{1}{y} = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{y - 2}{2 \cdot y} \pm \sqrt{\frac{{(2 - y)}^{2}}{{(2 \cdot y)}^{2}} + \frac{1}{y}}

.

Falls nun

y > 0,

folgt

x_{1,2} = \frac{y - 2}{2 \cdot y} \pm \sqrt{\frac{{(2 - y)}^{2}}{{(2 \cdot y)}^{2}} + \frac{1}{y}} \Rightarrow x_{1,2} = \frac{y - 2 \pm \sqrt{{(2 - y)}^{2} + 4 \cdot y}}{2 \cdot y}

\Rightarrow x = \frac{y - 2 + \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot y} \in (\frac{1}{2},1),

2 < \sqrt{y^{2} + 4} < y + 2

.

Falls

y < 0,

folgt

x_{1,2} = \frac{y - 2}{2 \cdot y} \pm \sqrt{\frac{{(2 - y)}^{2}}{{(2 \cdot y)}^{2}} + \frac{1}{y}} \Rightarrow x_{1,2} = \frac{2 - y \pm \sqrt{{(2 - y)}^{2} + 4 \cdot y}}{2 \cdot | y |}

\Rightarrow x = \frac{2 - y - \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot | y |} = \frac{y - 2 + \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot y} \in (0, \frac{1}{2}),

y - 2 < - \sqrt{y^{2} + 4} < - 2

.

Also

x = \frac{y - 2 + \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot y} \forall y \neq 0

.

Test:

\frac{1}{1 - \frac{y - 2 + \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot y}} - \frac{1}{\frac{y - 2 + \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot y}} = \frac{1}{\frac{y + 2 - \sqrt{y^{2} + 4}}{2 \cdot y}} - \frac{2 \cdot y}{y - 2 + \sqrt{y^{2} + 4}}

= \frac{2 \cdot y}{y + (2 - \sqrt{y^{2} + 4})} - \frac{2 \cdot y}{y - (2 - \sqrt{y^{2} + 4})} = \frac{- 4 \cdot y \cdot (2 - \sqrt{y^{2} + 4})}{y^{2} - {(2 - \sqrt{y^{2} + 4})}^{2}}

= \frac{- 4 \cdot y \cdot (2 - \sqrt{y^{2} + 4})}{y^{2} - (4 - 4 \cdot \sqrt{y^{2} + 4} + y^{2} + 4)} = \frac{- 4 \cdot y \cdot (2 - \sqrt{y^{2} + 4})}{- 8 + 4 \cdot \sqrt{y^{2} + 4}} = y

Matlog aktiv_icon

19:37 Uhr, 01.07.2021

@ Eduard...

Zur Surjektivität deiner Funktion

f (x) = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{x}

für

x \in (0,1) :

Du hast bereits die Monotonie gezeigt, Stetigkeit ist auch klar.
Wäre es jetzt nicht einfacher, nur

lim_{x \to 0 +} f (x)

und

lim_{x \to 1 -} f (x)

zu betrachten?

anonymous

20:09 Uhr, 01.07.2021

Ja, Matlog, stimmt.

f (x) \to - \infty (x \to 0)

und

f (x) \to \infty (x \to 1)

reicht natürlich für die Surjektivität
und nach gezeigter Injektivität
dann auch für die Bijektivität.
Ich war oben aber auch an einer expliziten Formel
für etwaige

y

interessiert, daher der Tamtam...

anonymous

20:27 Uhr, 01.07.2021

Die Funktion taucht übrigens hier auf,
ich habe sie also nicht etwa selbst erfunden
oder entdeckt oder so...

de.m.wikipedia.org/wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument#:~:text=Cantors%20zweites%20Diagonalargument%20ist%20ein,m%C3%A4chtiger%20als%20diese%20Menge%20sind.&text=keine%20Bijektion%20zu%20den%20nat%C3%BCrlichen%20Zahlen.

Sara95 aktiv_icon

00:32 Uhr, 05.07.2021

danke für die antwort, ich hatte das gleiche problem

anonymous

05:10 Uhr, 05.07.2021

Hallo Sara,

welches ?
Das in-, sur-, bijektiv-Ding allgemein ?
Oder bezüglich einer speziellen Funktion etwa ?
Es ist ja wenig los hier im Schüler-Forum
auf onlinemathe, also erlaube ich mir mal,
den Thread hier ein wenig zu "hypen", sag ich mal...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1539182

1534436

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?