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Bijektivität und Injektivität

Schüler

Tags: Frage

 
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Christian-

Christian- aktiv_icon

18:00 Uhr, 26.04.2021

Antworten
Hallo,

der Unterschied zwischen den beiden Abbildungen liegt doch in der Mächtigkeit der Definition- und Zielmenge. Richtig?
Eine bijektive Abbildung hat eine Definitionsmenge und Zielmenge, wobei dieselbe Mächtigkeit gegeben ist.
Eine injektive Abbildung hat eine Definitionsmenge und Zielmenge, wobei nicht unbedigt diese Mengen die gleiche Mächtigkeit haben müssen.

Kann ich es so sagen?

Und eine Sache noch. Ich habe ja gesagt
,,wobei nicht unbedigt diese Mengen die gleiche Mächtigkeit haben müssen."

Wenn sie aber die gleiche Mächtigkeit haben, dann ist das automatisch eine Bijektion, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Shipwater

Shipwater aktiv_icon

11:42 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Statt Zielmenge meinst du hier sicher Bildmenge. Und für die Umkehrung ist wichtig, dass die Mengen endlich sind. Also eine surjektive Abbildung f: muss zum Beispiel nicht bijektiv sein.
Antwort
Eduard von Nordstadt-Süd

Eduard von Nordstadt-Süd aktiv_icon

23:08 Uhr, 04.05.2021

Antworten
Hallo Christian,

Aussagen über Eigenschaften von Abbildungen
anhand der Kardinalitäten ihrer Definitions-,
Ziel- bzw. Bildmengen (Bildmenge Zielmenge,
aber nicht unbedingt Bildmenge = Zielmenge)
sind nur bedingt möglich.

Du solltest zunächst wirklich die Definitionen so,
wie sie sind, kennen und nutzen.
So kommt mit der Zeit Eines zum Anderen und
die Zweifel weichen Klarheit.

Hier zwei Schnipsel, einmal zum Begriff der Abbildung
und eine weiterer zu Bijektivität & Co...

Wenn Du Fragen hast, versuche,
sie so exakt wie möglich zu formulieren.

Noch was, was ich aber nur zähneknirschend kommuniziere,
da wir dann über die Kardinalität von endlichen,
abzählbar unendlichen oder überabzählbar unendlichen Mengen
zu reden beginnen, ohne dass dafür ein Fundament gesetzt wurde:

Der Wikipedia-Artikel "Bijektive Funktion"

de.m.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion#:~:text=Bijektivit%C3%A4t%20(zum%20Adjektiv%20bijektiv%2C%20welches,Eigenschaft%20von%20Abbildungen%20und%20Funktionen.

lehrt ja, dass bei Bijektivitität Ziel- und Wertemenge
gleichmächtig sind, aber daraus folgt nicht der Umkehrschluss.
Soll heißen

Abbildung bijektiv Definitions- und Zielmenge gleichmächtig,

aber nicht

Definitions- und Zielmenge gleichmächtig Abbildung bijektiv.

Kannst Du ein Beispiel dafür formulieren ?






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Screenshot_20210504-223705_Gallery
Antwort
Eduard von Nordstadt-Süd

Eduard von Nordstadt-Süd aktiv_icon

23:31 Uhr, 08.05.2021

Antworten
f:{0,1}{0,1} mit f(0):=f(1):=0

hat identische Definitions- und Zielmenge mit |{0,1}|=2,
ist aber weder surjektiv noch injektiv und also auch nicht bijektiv.

g:]-1,1[]-,[,xg(x):=x1-|x|

ist bijektiv, denn für y]-,[ gilt g(x)=y genau für y1+|y|=:x]-1,1[.

Das mag den Laien verblüffen, da man ja ]-1,1[ als echte Teilmenge von ]-,[
naiv für "kleiner" bzw. "weniger mächtig" halten könnte...
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