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Bijektivität und Umkehrabbildungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Bijektivität, Umkehrabbildung formulieren

 
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BukixD

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22:56 Uhr, 26.11.2021

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Bei folgender Abbildung habe ich enorme Probleme, da ich sie mir auch graphisch nicht vorstellen kann.

f: R >0 x {-1,1} → R \ {0}, (x,y) → xy

Hierzu sollen die Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und die Umkehrabbildung bestimmt werden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

23:12 Uhr, 26.11.2021

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Da gibt es nicht viel sich vorzustellen:

f(x,-1)=-x
f(x,1)=x

Und das jeweils nur für x>0. Im Graph sind das zwei Strahlen: Der eine ist Winkelhalbierende des vierten Qudadranten, der andere Winkelhalbierende des ersten Qudadranten.


P.S. (off-topic): Und weil hier das Komma das Trennzeichen der Argumente ist, wäre es keine gute Idee, nichtganze Dezimalzahlen mit Komma statt Dezimalpunkt als Argument zu schreiben, also etwa f(1,3,1) statt f(1.3,1) ...
BukixD

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23:28 Uhr, 26.11.2021

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Dann ist diese Abbildung doch sowohl injektiv als auch surjektiv und damit bijektiv oder?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

23:30 Uhr, 26.11.2021

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Ja, ist sie. Bleibt noch die Angabe der Umkehrabbildung.
BukixD

BukixD aktiv_icon

23:37 Uhr, 26.11.2021

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Mein Vorschlag wäre: {-1/1} x R>0 → R\ {0} (y,x).
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

23:57 Uhr, 26.11.2021

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Nein, das macht überhaupt keinen Sinn: Du hast lediglich die Reihenfolge der Argumente der Ausgangsfunktion vertauscht. :(

Nochmal rekapitulieren: Es ist f:>0×{-1,1}\{0} mit f(x,y)=xy.

Dann gilt für die Umkehrfunktion auf jeden Fall f-1:\{0}>0×{-1,1}, d.h., das Argument ist eine reelle Zahl z0, und es muss für f-1(z) ein geordnetes Paar (x,y) rauskommen mit x>0 sowie y=1 oder y=-1, und zwar in der Weise, dass z=xy gilt. Es ist also nun deine Aufgabe, zu gegebenem z solche x,y zu finden.

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