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Bijektivität von orthogonalen Abb. beweisen

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Tags: Lineare Abbildungen, Skalarprodukt, Vektorraum

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11:34 Uhr, 05.07.2014

Hallo,

Es geht darum den Beweis zu erbringen, dass jede orthogonale Abbildung

f : R^{n} \to R^{n}

bijektiv ist.

Über den Kern von

f

habe ich schon bewiesen, dass jede orthogonale Abbildung injektiv ist.
In Kurzform: Sei

u

Element von ker(f), dann

< u, u > = < f (u), f (u) > = < 0, 0 > = 0

usw.

Nun weiß ich, dass ich den Beweis weiter über den Rangsatz

dim U = dim

ker(f)

+ dim

im(f)

führen soll. Da dim ker(f)

= 0

ist, kann man sagen:

dim U = dim

im(f),

also die Urmenge und Bildmenge sind gleichdimensional.

Und hier komme ich nicht auf den nächsten Schritt, um den Beweis vernünftig abzuschließen.

Jede Hilfe wär toll, danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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