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Bild, Kern lineare Abbildung
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Bild, Kern, Lineare Abbildungen
 
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Hallo ihr, habe leider kein passendes Beispiel zum lösen dieser Aufgabe gefunden. Bitte helft mir. Durch f(1,2)=(3,-1) und f(0,1)=(2,1) ist eine lineare Abbildung f: IR²->IR² festgelegt( wieso)? i) Bestimmen Sie Kern und Bild von f. ii) Ermitteln Sie die f darstellende Matrix. Habe auch keine Ahnung wie ich die folgenden Definitionen (aus dem schwarzen Buch) zum lösen nehmen könnte.
Vielen Dank schonmal! |
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Hallo Scully, eine lineare Abbildung ist auf dem gesamten VR festgelegt, wenn die Bilder einer beliebigen Basis bekannt sind. Deine Vektoren (1,2) und (0,1) sind linear unabhängig und bilden deshalb eine Basis von R^2. zu i) Die Bildvektoren der Basisvektoren (1,2) und (0,1) sind (3,-1) und (2,1); sie sind linear unabhängig und bilden daher selbst eine Basis von R^2, d.h. dass jeder Vektor durch eine Linearkombination der beiden Bildvektoren darstellbar ist. Das Bild von f ist also ganz R^2. Nach der Dimensionsformel ist dim(Ker(f)) = 2 - 2 = 0. Also ist Ker(f) = {0}. zu ii) Ich liefere Dir die f darstellende Matrix bzgl. der Basis (1,2) und (0,1). Wie Du leicht nachrechnest gilt (3,-1) = 3 * (1,2) - 7 * (0,1) (2,1) = 2 * (1,2) - 3 * (0,1). Damit lautet die Matrix (+3 +2) (-7 -3). Gruß Rentnerin |
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Hallo Rentnerin, vielen Dank für die Antwort. Aber ich stehe noch irgendwie auf dem Schlauch... Den Kern berechnet man mit Hilfe des Kern- Bild- Satzes oder? Also: n= dim Kern φ + dim Bild φ. Aber ist dim Bild φ= Bild φ? Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein? Und was ist mit den Bildvektoren? |
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Hallo Scully, ich weiss nicht, wie ihr den Satz zur Ermittlung der Dimensionen genannt habt. Jedenfalls gilt für eine lineare Abbildung f : V ---> W zwischen endlich dimensionalen VR V und W der Zusammenhang: dim(V) = dim(Im(f)) + dim(Ker(f)). Die Frage, ob dim(Im(f)) = Im(f) ist, ergibt keinen Sinn. Im(f) ist ein UVR von W und dim(Im(f)) ist eine Zahl, nämlich die Dimension dieses UVR. Basisvektoren sind nach Definition immer linear unabhängig; Du kannst Dir zu jedem Basisvektor einen Bildvektor in W aussuchen. Diese müssen natürlich nicht linear unabhängig sein. Hast Du einmal eine Wahl für jeden Basisvektor getroffen, dann ist dadurch eindeutig eine lineare Abbildung "vollständig" festgelegt. Dies liegt an der Linearität der Abbildung. Gruß Rentnerin |
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Ok, alles klar :) Vielen Dank! Ist manchmal garnicht so einfach die ganzen Zusammenhänge zu erkennen... |
