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Bild der Phi-Funktion
Universität / Fachhochschule
Tags: Bild, phi-funktion, Potenz von 2
 
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Liebe Mathefreunde, ich möchte zeigen, für welche natürlichen Zahlen n außer Zweierpotenzen das Bild der Eulerschen Phi-Funktion eine Zweierpotenz ist und dies beweisen. Ich habe zahlreiche Urbilder von Zweierpotenzen betrachtet und folgende Muster von n gefunden, die passen: 3 - 6 - 12 - 24 usw. 5 - 10 - 20 - 40 usw. 15 - 30 - 60 - 120 - 240 usw. 17 - 34 - 68 - 136 usw. 51 - 102 - 204 usw. ... (hier geht es weiter mit weiteren Reihen) Die Zahlen verdoppeln sich also jeweils. wenn ich diese Zahlen in Primfaktoren zerlege komme ich auf 3*2^n 5*2^n 3*5*2^n 17*2^n 3*17*2^n Ich habe stundenlang versucht, eine Vorschrift dafür zu identifizieren. für die ersten vier Reihen gelingt mir das auch: 2^(2^n)-1 mod 2^(2^n)-1 oder 2^(2^n)+1 mod 2^(2^n)+1. aber das passt nicht für die weiteren Reihen. Wer hat Lust, mir bei diesem Problem zu helfen? VG Haseandreas |
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Das ganze hängt natürlich mit den Fermat-Zahlen ( de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl ) zusammen. Sei die Menge aller Fermat-Zahlen, die prim sind, dann erfüllen genau die Zahlen für sowie endliche mit deine Bedingung. Bislang ist noch nicht bewiesen, wie aussieht, auch wenn vermutet wird, d.h. für alle NICHT prim ist. |
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Vielen Dank :-). Das Produktzeichen bezieht sich dann also auf ausgewählte Fermatzahlen. Von einem Faktor wie 3 oder 5 oder 17 ... oder einer Kombination aus diesen? Nur wie kann man das beweisen? Meine Bastelei ist ja nicht mathematisch korrekt. HG Haseandreas |
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Streng logisch deduziert: Sei eine Zahl mit . Wegen folgt unmittelbar 1) Alle ungeraden Primteiler haben Exponent , da im Fall die Teilbarkeit zu und damit einem Widerspruch führt. 2) muss selbst Zweierpotenz sein, d.h., es muss gelten. Nun darf aber keinen ungeraden Teiler enthalten: Denn falls ein solcher Teiler wäre, dann wäre ein Teiler von (bitte selbst überlegen!!!), was wegen ein Widerspruch zur Primalität von ist. Daher muss eine Zweierpotenz sein und somit eine prime Fermat-Zahl. |
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Danke, ich habe es komplett verstanden - auch die kleine Zwischenbehauptung beweisen können. Ich wünsche einen schönen dritten Advent. VG Haseandreas |
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Danke, ich habe es komplett verstanden - auch die kleine Zwischenbehauptung beweisen können. Ich wünsche einen schönen dritten Advent. VG Haseandreas |
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