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Bild der Transformation einer Zufallsvariablen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Abbildungen (Funktionen), transformation, Zufallsvariablen

galois86

17:07 Uhr, 14.04.2019

Hallo,

ich habe folgende Frage. Auf einem unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum

(Ω, ℱ, P)

habe ich eine Menge

C \subset L^{0} (P)

von nicht-negativen Zufallsvariablen, die konvex ist und die Null enthält.

Weiter habe ich eine Funktion

u : (0, + \infty) \to (0, + \infty)

, die stetig differenzierbar, streng monoton wachsend und konkav ist.

Nun betrachte ich die Menge

D := {d \in L^{0} : u (0) \leq d \leq u (c)

für ein

c \in C}

.

Nun sage ich, dass

D

das Bild von

C

unter

u

ist, also dass es zu jedem

d \in D

ein

c^{*} \in C

gibt, so dass

u (c^{*}) = d

, wobei Gleichheit pfadweise gemeint ist, also für jedes

ω \in Ω

gelten soll.

Meine Begründung:
Sei

d \in D

beliebig. Dann existiert ein

c \in C

mit

u (0) \leq d \leq u (c)

. Da

u

stetig differenzierbar und streng monoton ist, gibt es eine Umkehrfunktion

u^{- 1}

von

u

, die die Ungleichheit erhält. Es gilt also

0 \leq u^{- 1} (d) \leq c

.
Wähle

λ \in [0, 1]

so, dass

λ c = u^{- 1} (d)

.
Da nun

C

konvex ist, gilt, dass

c^{*} := λ c \in C

.

Ist das richtig oder habe ich hier irgendwo einen Denkfehler, da ich es für Zufallsvariablen zeigen will?

Danke und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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