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Bild des Einheitsvektor entspricht Abbildungsvekto

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Linear Abbildung, Lineare Algebra

vasmer

12:15 Uhr, 15.10.2015

Hi

Was versteht man darunter: Werden die Einheitsvektoren(1,0) und $(0,1)$ auf die Vektoren $(a, b)$ und $(c, d)$ abgebildet, so gilt für die Abbildungsmatrix A eienr affinen Abbildung:
$A \cdot (1.0 0,1) = (a, c,, b, d)$ folgendes: $A = (a, c,, b, d)$
Die Spaltenvektoren von A sind also die Bidlvektoren der Einheitsvektoren”?

(einfaches Komma trennt rechts und links, zweifaches Komma unten und oben)

thhx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:18 Uhr, 15.10.2015

"Die Spaltenvektoren von A sind also die Bidlvektoren der Einheitsvektoren"

Ja.

vasmer

12:46 Uhr, 15.10.2015

Danke, ich versteh nicht ganz die Herleitung (der Satz gehört zum nicht verstandenen)

ledum aktiv_icon

16:04 Uhr, 15.10.2015

Hallo
wenn du $A \cdot e_{1}$ bildest , und die erste Spalte von $A (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ ist und $e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ was ergibt sich denn dann für $A \cdot e_{1}$ das kannst du doch einfach nachrechnen, entsprechend die zweite Spalte von A sei $(\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ was gibt dann $A \cdot e_{2}$ ?
da ist nichts zu beweisen oder verstehen, das rechnet man einfach nach!
Gruß ledum

vasmer

22:29 Uhr, 20.10.2015

Danke, müsste man nicht mit einer 2x2-Matrix multiplizieren, da wenn man $A \cdot e_{1}$ und $A \cdot e_{2}$ rechnet, man $(a, d)$ erhalten würde statt $(a, b,, c, d)$ ? Aber welchen Sinn hat diese Aussage? Jeder Vektor der mit den beiden Einheitsvektoren multipliziert wird ist das Bild des Einheitsvektors, und entspricht zudem dem Urbild,?

DrBoogie aktiv_icon

07:06 Uhr, 21.10.2015

"Jeder Vektor der mit den beiden Einheitsvektoren multipliziert wird ist das Bild des Einheitsvektors, und entspricht zudem dem Urbild,?"

Urbild wovon? Wie willst Du Vektoren mit Einheitsvektoren multiplizieren?

Die Sache ist doch ganz einfach: wenn $A$ eine $2 \times 2$ Matrix ist, also
$A = (\begin{array}{rcl} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{array})$ ,
und $e_{1}$ und $e_{2}$ die Einheitsvektoren, also $e_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \end{array})$ , $e_{2} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \end{array})$ ,
dann gilt $A e_{1} = (\begin{array}{rcl} a_{1} \\ a_{3} \end{array})$ und $A e_{2} = (\begin{array}{rcl} a_{3} \\ a_{4} \end{array})$ ,
also die Spaltenvektoren von $A$ sind $A e_{1}$ und $A e_{2}$ .

vasmer

04:53 Uhr, 22.10.2015

Danke, als Urbild meine ich die 2x2-Matrix von der man ausgeht. Also ich versteh nicht ganz, denn Sinn, der Aussage. Denn egal welche 2x2-Matrix man nimmt, sie besteht doch immer in der 1. Spalte aus einem Bild des Eineheitsvektors $e_{1}$ und in der zweiten Spalte als Bild des Einheitsvektors $e_{2}$ . oder?

DrBoogie aktiv_icon

08:58 Uhr, 22.10.2015

"sie besteht doch immer"

Ja. Der Sinn der Aussage ist, dass man damit z.B. die Basis vom Bild leicht bestimmen kann.
Aber die Aussage ist natürlich ziemlich trivial.

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