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Bild einer Lin. Abbildung bestimmen.

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinanten, Lineare Abbildungen, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

eXistenZ aktiv_icon

18:59 Uhr, 21.03.2012

Hallo liebe Leute.

Ich habe mal wieder ein Matheproblem xD

Es geht darum das Bild zu bestimmen.
Erstmal kann ich mir leider unter einem Bild noch garnicht wirklich was vorstellen.
Ich glaube zwar zu wissen wie man das Bild bestimmt, aber dessen bedeutung ist mir noch unklar.

Mal ein kleines Beispiel.

Ich habe 2 Verktorräume

Z_{5}^{3} \to Z_{5}^{2}

. Eine Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix})

und

v \to A \cdot v

die gegebene lineare Abbildung.

Dann habe ich nun eine Variante kennengelernt zu sagen das ich A transponiere.

Also

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix})

diese dann durch den Gauß in Zeilenstufenform bringen, womit ich zu folgendem Ergebnis komme:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

. SOmit Im(f)=span

{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

Und weil ich hier nun 2 lin. unabhängige basen habe ist das Bild ganz

Z_{5}^{2}

??

Gruß

e Ξ

Mauthagoras aktiv_icon

20:28 Uhr, 21.03.2012

Hallo,

das Bild einer Funktion bzw. Abbildung ist immer die Menge der Werte, die tatsächlich angenommen werden; zum Beispiel kann man etwa schreiben

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto 3

, also einfach

f (x) = 3

, aber das Bild ist natürlich nicht

ℝ

, sondern nur

{3}

.
Bei linearen Abbildungen kann man sich das teilweise auch geometrisch vorstellen: Sei zum Beispiel

f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, x \mapsto (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) x

. Diese Abbildung nimmt also einen Punkt in der Ebene und projiziert ihn senkrecht auf die

x -

Achse, das Bild von

f

ist also eine Gerade, nämlich genau die

x -

Achse.

Ja, okay – Dein Verfahren hat ergeben, dass die Matrix vollen Rang hat und aus diesem Grund weißt Du, dass das Bild ganz

ℤ_{5}^{2}

ist. Also kannst Du das auch als Spann der beiden Basisvektoren schreiben, die Du gewählt hast; ja, richtig.

eXistenZ aktiv_icon

14:06 Uhr, 22.03.2012

huhu,
Hey vielen dank für deine antwort und deinem Beipsiel.

Das hat mir alles sehr weiter geholfen.

Eine Frage habe ich da noch.
Wenn ich jetzt statt einer Abbildungsmatrix folgendes gegeben habe:

f : ℤ_{5}^{3} \to ℤ_{5}^{2}

gegeben durch

{(x, y, z)}^{t} \to {(2 x + y + 3 z, y + 2 z)}^{t}

Wenn ich jetzt hiervon das Bild bestimmen möchte, kann ich da wie folgt vorgehen.

Ich picke mir zunächst aus

ℤ^{3}

die kanonische Basis raus.

{(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

dann wende ich darauf die abbildung an.

dann habe ich die 3 vektoren

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

Nun schau ich ob

z . b

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

lin. unabhängig sind.

was sie auch zufällig sind.
Somit bilden diese 2 Vektoren eine Basis des

ℤ^{2}

somit ist das Bild der ganze ZZ^2??

kann man das so machen? :-)

gruß

e Ξ

PS: bevor ich nen neuen thread aufmache füge ich hier gleich noch schnell eine weitere frage ein. Gehört zum gleichen Themengebiet.

Ich soll nun die Basiswechselmatrix von

S_{C, K_{3}}

bestimmen
Wobei

K_{3}

die kanonische Basis des

K_{3}

ist und

C = {(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}

Ich wäre jetzt hergegangen und hätte die vektoren des

K_{3}

als linearkombination der vektoren von

C

dargestellt und letztlich mit dem Gaußverfahren in zeilenstufenform gebracht und dan ablesen können.

Aber in der Musterlösung wird es anders gemacht udn ich würde diesen weg gerne verstehen.
Dort wird es wie folgt gelöst:

S_{C, K_{3}} = S_{K_{3}, C}^{- 1} = {(K_{K_{3}} (C_{1}), K_{K_{3}} (C_{2}), K_{K_{3}} (C_{3}))}^{- 1} = {(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix})}^{- 1}

und zum schluß wird eben noch diese matrix invertiert um eben

S_{C, K_{3}}

bekommen. Aber den ersten schritt verstehe ich leider schon nicht.

Mauthagoras aktiv_icon

09:27 Uhr, 23.03.2012

Ja, die erste Frage hast Du genau richtig gemacht. Durch das Anwenden der Abbildung auf die drei Basisvektoren hast Du übrigens automatisch die Matrixdarstellung der Abbildung gefunden.

Die zweite Frage kann ich aus Zeitgründen leider nicht jetzt gleich beantworten, da brauchst Du noch Geduld bis vermutlich morgen – aber das ist nur eine kleine Erweiterung zum bisherigen; ich bin sicher, dass Du das auch gleich verstehen wirst.

eXistenZ aktiv_icon

14:31 Uhr, 24.03.2012

ich danke dir schon mal für deine mühe, und hoffe das du bald bei meiner 2. frage licht ins dunkel bringen kannst :-)

Mauthagoras aktiv_icon

08:05 Uhr, 26.03.2012

So, jetzt ist es endlich soweit...

Um oben die Basisdarstellungen zu ermitteln, haben wir genau nach Definition der Basisdarstellung für einen gegebenen Vektor

(a, b, c)

das (lineare) Gleichungssystem

x c_{1} + y c_{2} + z c_{3} = (a, b, c)^{T}

gelöst. Dieses kann man kompakt auch in Matrixform schreiben:

(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})

. Nun repräsentiert die Matrix eine Basis, sodass sie invertierbar ist, und wir können schreiben:

(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = {(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array})}^{- 1} (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) = \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - 1 & 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}) .

Damit haben wir den Basiswechsel als lineare Abbildung mit Matrixdarstellung gegeben. Die zugehörige Matrix ist dann die Transformationsmatrix des Basiswechsels

C \to K_{3}

. Ihre Inverse ist natürlich die Trafomatrix für die andere Richtung.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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