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Bild einer bilinearen Abbildung

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Bild, bilineare Abbildungen, Teilvektorraum?, Vektorraum

Mittwoch aktiv_icon

10:06 Uhr, 04.03.2012

Seien

V, W, U

Vektorräume über

ℝ

oder allgemeiner über einem Körper

K

. Sei

φ : V \times W \to U

eine bilineare Abbildung. Ist dann

I m (V \times W)

, das Bild von

V \times W

unter

φ

ein Teilraum von

U

und wenn ja wie zeigt man das? Dass die Menge multiplikativ abgeschlossen ist, ist mir klar. Aber die Abgeschlossenheit bzgl. Addition krieg ich nicht hin. Mir fällt auch kein Gegenbeispiel ein, wo es nicht so ist. Wenn es sich nicht so verhält, wäre ich dankbar für ein Gegenbeispiel.

Danke für eure Hilfe!

hagman aktiv_icon

10:44 Uhr, 04.03.2012

Für

φ : K^{2} \times K^{2} \to K^{3}

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}), (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} v_{1} w_{1} \\ v_{2} w_{2} \\ v_{1} w_{2} \end{matrix})

ergibt sich

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Damit das Bild einUnterraum ist, müsste sich

φ ((\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}); (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

lösen lassen, aber das fürht auf

v_{1} \neq 0, w_{2} \neq 0, v_{1} w_{2} = 0 -

Widerspruch

Mittwoch aktiv_icon

13:14 Uhr, 04.03.2012

Okay, das ist schlecht. Damit hätte ich nämlich für mich gezeigt gehabt, dass das Tensorprodukt zweier endlichdimensionaler Vektorräume mit Dimension jeweils größer gleich 1 eindeutig ist. Wir haben über die Universaleigenschaft argumentiert. Dazu hatten wir

V \otimes W

nach Festlegen von Basen für

V

und

W

als Raum der Abbildungen von

{1, \dots, n} \times {1, \dots, m}

nach

K

definiert. Von

V \times W

nach

V \otimes W

wurde eine Abbildung

ι

wie folgt definiert. Auf den Paaren von Basiselementen setzten wir

v_{i} \otimes w_{j} = e_{i j}

, wobei

e_{i j}

die Funktion ist, die

(i, j)

auf

1

abbildet, und setzten

ι

bilinear fort. Dann zeigten wir, dass für jede bilineare Abbildung

β

von

V \times W

in einen Vektorraum

U

eine eindeutige lineare Abbildung

\hat{β}

von

V \otimes W

nach

U

existiert, sodass das Diagramm kommentiert, d.h. sodass

\hat{β} \circ ι = β

. Soweit so gut. Wenn nun

E

ein weiterer Vektorraum mit der universellen Eigenschaft ist, so haben wir gezeigt, dass für

U = E

gilt:

\hat{β}

ist injektiv.

\hat{β}

soll ein Isomorphismus sein und die Surjektivität und die Surjektivität ähnlich zu zeigen Diese krieg ich aber nicht hin. Kannst du mir einen Tipp geben?

hagman aktiv_icon

17:47 Uhr, 04.03.2012

Sowas folgt doch sofort per Universalität.

Mittwoch aktiv_icon

08:12 Uhr, 05.03.2012

Ich meine, die Universalität so wie ich sie verstanden habe/sie bei uns definiert wurde sagt per se nichts über die Surjektivität der Abbildung von

V \otimes W \to E

aus. Allerdings hab ich mir eben überlegt, dass es reichen würde zu zeigen, dass die Abbildung

ι ʹ

von

V \times W \to E

surjektiv ist. Weiters habe ich überlegt, dass sie "fast surjektiv" sein muss, d.h. dass gelten muss

s p a n (ι ʹ (V \times W)) = E

, weil ich sonst uneindeutige lineare Abbildungen zustande brächte. In diesem Fall enthält

ι ʹ (V \times W)

also eine Bais

B

von

E

(um das sauber zu machen habe ich zu meiner Überraschung das Lemma von Zorn gebraucht). Nachdem das Bild einer linearen Abb. aber kein Teilraum zu sein braucht, bin ich damit noch nicht fertig. Ich habe aber mittlerweile weitergedacht und gemerkt, dass (wenn

\hat{ι}

die Abbildung von

V \otimes W \to E

und

\hat{ι ʹ}

die Abb. von

E \to V \otimes W

bezeichnet)

\hat{ι} (\hat{ι ʹ} (ι ʹ (V \times W))) = ι ʹ (V \times W)

gilt. Insbesondere gilt also, dass von

\hat{ι}

die Basis

B

getroffen wird und ich somit Surjektivität gesichert habe. Ich denke, dass sollte stimmen!?

Liebe Grüße, Florian

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