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Bild und Kern einer linearen Abbildung/Funktion

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Bild, Kern, Linear Abbildung

 
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ray11

ray11 aktiv_icon

16:07 Uhr, 23.02.2018

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Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich stehe leider an.

V sei ein Vektorraum aller Funktionen von ℝ nach ℝ. Wie sind für f,g∈V und c∈ℝ die Funktionen f+g und c⋅f definiert?

Zeigen Sie, dass die Funktion F:V→ℝ2,f↦(f(-1),f(2)) linear ist.

Wie ist das Bild von F definiert? Geben Sie ein von (0,0) verschiedenes Element im Bild von F an.

Wie ist der Kern einer linearen Funktion definiert? Geben Sie eine von der Nullfunktion verschiedene Funktion im Kern von F an.



Lg ray

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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ledum

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16:42 Uhr, 23.02.2018

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Hallo
wie man f+g und c⋅f vernünftig definiert ist hoffentlich klar?
zur Linearität musst du doch nur F(f+g)=F(f)+F(g) zeigen und F(c⋅g)=c⋅F(g)
woran scheiterst du.
bitte schreib doch gleich zu einer Frage, genau, wo du scheiterst, und was du noch kannst.
Gruß ledum
ray11

ray11 aktiv_icon

20:16 Uhr, 23.02.2018

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Soweit ich noch weiß war das so oder?
a∈ℝ
(f+g)(a)=f(a)+g(a) und c⋅f(a)=f(c⋅a)

Bei der Linearität bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt. ich hätte es so gemacht:
F(f+g)=(f(-1)+g(-1),f(2)+g(2))=(f(-1),f(2))+(g(-1),g(2))=F(f)+F(g)

F(c⋅g)=(c⋅g(-1),c⋅g(2))=c⋅(g(-1),g(2))=c⋅F(g)
Sollte das stimmen sollte weiß ich bei beiden nicht wie man von Schritt 2 auf 3 kommt.

Das Bild von F sollte {F(v)|v∈V}≤ℝ
Wie finde ich dann ein von (0,0) verschiedenes Element im Bild von F?

Der Kern von F sollte {F(v)=0|v∈V}≤V (mit 0 ist der Nullvektor im Bildbereich gemeint)
Aber wie man eine von der Nullfunktion verschiedene Funktion im Kern von F findet weiß ich auch nicht.
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ledum

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22:55 Uhr, 23.02.2018

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Hallo
1. c⋅f ist definiert c⋅f(x)=c⋅f(x) für alle x∈ℝ
deine Def ist falsch, aber die benutzt du ja säter auch nicht.
bei F(g+f)fehlt der Schritt nach dem 2 ten =
=(g(-1)+f(-1),g(-2+f(-2))
ebenso solltest du nach F(g)+F(f)=(g(-1),g(-2)))+(f(-1),f(-2))=(g(-1)+f(-1),g(-2+f(-2))
dir aufschreiben.ebenso was c⋅F(g) ist.
jede funktin mit den 0 Stellen f(-1)=0 und f(-2)=0 wird auf (0,0) abgebildet, also jede Funktion f(x)=(x+1)*(x+2)*weitere stetige f
Fkt auch sin(π⋅x) tut es usw. die liewgen also im Kern,
im bild etwa cos(π⋅x) oder einfach x oder unglaublich viele die nicht die höchstens eine der Nullstellen x=-2 und x=-1 haben .
F(x+1)=(0,-1),F(x2)=(1,4) usw.
schade, dass du nicht einfach mal mit ein paar einfachen Funktionen F bestimmt hast.
man muss immer ein bissel mit den Definitionen hier von F vertraut werden, das tut man, indem man ein paar einfache funktionen einsetz.
bei linear hast du nich vergessen F(0)=(0,0) wenn f(x)=0
Gruß ledum
ray11

ray11 aktiv_icon

18:08 Uhr, 24.02.2018

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für alle x∈ℝ,c⋅f(x)=c⋅f(x) ?? Das ist ja klar, dass das das selbe ist?
Mann muss doch zeigen dass f(c⋅x)=c⋅f(x) um Linearität zu beweisen.

Du machst den Beweis für F(g+f) und ich halt für F(f+g), das sollte doch keinen Unterschied machen? Dass die Addition kommutativ ist, muss ich nicht extra zeigen.
Daher verstehe ich nicht warum ich das von der anderen Seite auch zeigen muss?!

Kann mir eventuell auch noch jemand anderes seine/ihre Meinung posten?

Danke, Grüße ray
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ledum

ledum aktiv_icon

19:24 Uhr, 25.02.2018

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Hallo
die kleinen f waren die, auf die F angewendet wird. f ist im allgemeinen nicht linear, also c⋅f(x)≠f(c⋅x) einfaches Beispiel f(x)=x2.
auf keinen Fall darfst du also schreiben c⋅f(x)=f(c⋅x) und das hast du ja auch nirgends benutzt.

du hattest gesagt, dass du einen Schritt nicht einsiehst, dazu mein Kommentar, dass irgendwo auf beiden Seiten
(f(-1),f(-2)+(g(-1),g(-2))=(f(-1)+g(-1),f(-2)+g(-2)) stehen sollte. ich dachte der Schritt sei dir unklar, sonst musst du sagen, was du mit" weiß ich bei beiden nicht wie man von Schritt 2 auf 3 kommt" meinst. du musst doch nur hinschreiben, was F(f)+F(g) ist ?
(ich hatte auf die Reihenfolge von f und g nicht geachtet, natürlich ist die egal)
Gruß ledum
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