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Bild und Kern einer matrix berechenen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Bild, Kern, Lineare Abbildungen

 
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Oldepied

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11:20 Uhr, 17.08.2013

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Moin,
ich soll das Bild und den Kern einer Matrix A berechnen.

A=(2,3,1;6,6,-6;8,9-7) nach jedem ; neue Zeile

Den Kern hab ich mit der Formel Ax=0 berechnen Gleichungssystem aufstellen;ZSF;lösen) kamm ich dann auch auf das Ergebniss kern(a)={t*(1,-1-2)^T}

Nur beim Bild bin ich jetzt verwiert. also ich hab mir ein Lernvideo angeguckt wonach man die Matrix auf zeilenstufenform bringen soll und dann die köpfe betrachten. Zu jeder Spalte die einen Kopf hat soll man die Korospondierende Spalte aus der Matrix nehmen so erhält man das Bild. Leider stimmt das ergebnis dann nicht mit meinen Aufzeichnungen überein?

Eigentlich geht die Formel ja Ax=b. Hier ist B nun nicht vorhanden wie kann ich vorgehen

Vielen Dank im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
prodomo

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12:31 Uhr, 17.08.2013

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Bitte überprüfe deinen Text. Ist die letzte Zeile wirklich 8,9,-7? Dann ist der Kern nur der Nullvektor. Das wäre ziemlich einfach, deshalb glaube ich an einen Tippfehler.
Für eine Matrix schreibst du jede Zeile in Klammer mit Komma + Leerzeichen zwischen den Koeffizienten und die Zeilen in Klammern mit Komma + Leerzeichen als Trennung, also "((2, 3,1),(6,6,-6),(8,9, -7))" ergibt (23166-689-7).










Oldepied

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13:12 Uhr, 17.08.2013

Antworten
Ah stimmt ein Tippfehler von mir sry sonst wäre es ja echt zu leicht, einfach die determinante bestimmten und man würde sehen das es nur den Nullvektor als lösung geben würde.
Hier die richtige Matrix:

A=(23-166-689-7)

ohne den Tipffehler bei 1 und -1 ist dann auch det(A)=0
Antwort
prodomo

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08:59 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Ok, dann heißt es
I: 2x+3y-z=0
II: 6x+6y-6z=0
III: 8x+9y-7z=0
--------------------
III-II ergibt I, also fällt III weg, II kannst du durch 6 teilen und bekommst
I: 2x+3y-z=0
IV: x+y-z=0
Beide voneinander subtrahieren liefert
V:x+2y=0
Also x=-2y. Das wird eingesetzt
-2y+y-z=0
z=-y

Insgesamt also Kern φ=λ(-21-1)
Für das Bild brauchst du nur zu erinnern (s.), dass III = II +I war, also die Bildvektoren die Gestalt (aba+b) haben. Das ist ein zweidimensionaler Unterraum (denke an den Dimensionssatz), also x=a(101)+b(011), geometrisch eine Ebene durch den Ursprung, der Kern war ja eine Ursprungsgerade
Oldepied

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12:58 Uhr, 18.08.2013

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okay das ergebnis vom kern ist plausibel hatte bei mir einen rechenfehler drin.
Die vorgehensweiße beim Bild habe ich auch verstanden allerdings ist diese ja ein "spezialfall" das wird ja nicht immer so gehen. In meinen unterlagen findet sich das ergebnis:

Bild(A)= span {((3,6,9));((-1,-6,-7))}

die kommen darauf weil man den vektor ((2,6,8)) durch die beiden darstellen kann aber gibt es auch einen allgemeinen lösungsansatz zum berechnen des Bildes oder muss man immer gucken ob einer der vektoren durch die anderen beiden darstellbar ist?
Antwort
anonymous

anonymous

16:02 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Zunächst ein wenig Vorgeplänkel.
(Du kannst auch direkt zu ### springen, wenn dich das nicht interessieren sollte.)

Das Bild im(A) einer m×n -Matrix A über K ist als {Ax|xKn} definiert.
Da xAx Linear ist, reicht es, wenn man eine Basis von Kn abbildet.

In diesem Fall:
b1=(100)
b2=(010)
b3=(001)
{b1,b2,b3} ist eine entsprechende Basis.

c1=Ab1=(268)
c2=Ab2=(369)
c2=Ab2=(1-6-7)

Also ist {c1,c2,c3} ein Erzeugendensystem von im(A).

Also:
im(A)={t1c1+t2c2+t3c3|t1,t2,t3K}

Jedoch möchte man das Bild möglichst einfach haben.
Möglichst einfach bedeutet hier, dass man möglichst eine Basis haben möchte.
{c1,c2,c3} ist zwar ein Erzeugendensystem, aber keine Basis, da es linear abhängig ist.

Nun kann man ausprobieren, welche Vektoren man herausnehmen muss, um eine Basis zu erhalten. Das ist geneu das, was bei der von dir genannten Lösung gemacht wurde.


Raten ist jedoch immer so eine Sache ...
Was ist wenn man da ewig rumrät und doch nicht den passenden findet.
Man möchte nun eine Methode in der man sich einfach eine passende Basis errechnen kann.


Wie erhält man nun aus einem Erzeugendensystem eine Basis?
Eine Basis ist immer noch ein Erzeugendensystem.

Wie erhält man also aus einem Erzugendensystem ein anderes?
Man darf die Vektoren skalieren und zu einem Vektor das Vielfache eines anderen Vektors addieren.

Woher kennt man das?
Genau, vom Gauß-Algorithmus. Und in der Tat kann man damit das Erzeugendensystem so optimieren, dass man daraus eine Basis erhält. Warum das so ist führe ich jetzt nicht genauer aus. Evtl. entstandene Nullvektoren kann man dan vergessen, da diese ja in eine Linearkombination nichts ändern.

Jetzt bilden die Spalten der Matrix, wie bereits ausgeführt ein Erzeugendensystem. Jedoch benutzt der Algorithmus in der Regel Zeilen.
Wie löst man das Problem?
Man transponiert einfach die Matrix.



###

Die Vorgeehensweise lautet also folgendermaßen:

Transponiere die Matrix.

Verwende den Gauß-Algorithmus, um die transponierte Matrix auf Zeilen-Stufen-Form zu bekommen.

Aus den Zeilen, welche nicht Nullzeilen sind, kann man eine entsprechende Basis des Bildes ablesen.

###

Angewendet auf dein Beipiel:
A=(23-166-689-7)

AT=(268369-1-6-7)

(134369-1-6-7)
(1340-3-30-3-3)
(134011000)

Daher ist {(134),(011)} eine Basis des Bildraumes.
Das ist jetzt natürlich nicht genau die Gleiche, wie sie in der Lösung angegeben ist, was aber auch nicht wirklich verwunderlich ist. Schließlich ist die Basis eines Vektorraums im Allgemeinen nicht eindeutig.
Antwort
Shadowhunter123

Shadowhunter123

16:23 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Hi,

ich klinke mich mal in dieses Thema ein, weil ich ebenfalls Probleme mit dem Kern/Bild-Bestimmen habe.
kenkyus Beitrag war sehr gut.

Ich habe nur eine Frage.

Bei meiner Rechnung vorhin habe ich erst den Rang der Matrix bestimmt (also Gauß angewandt), dann ging das mit dem Bild-Ablesen ganz "flott" - man muss ja nur schauen, welche Vektoren multipliziert mit der Matrix in Zeilenstufenform Null ergeben.

Anschließend sollte ich noch das Bild der Abbildung (Matrix) bestimmen.
kenkyu hat geschrieben, dass man dafür am Anfang die Matrix transponiert, dann Gauß anwendet und die Nicht-Null-Spalten die linear unabhängig sind ergeben die Basis des Bildes. Meine Frage ist nun: Kann ich erst Gauß anwenden und anschließend transponieren? Mit anderen Worten: Einfach gar nicht transponieren und die Zeilenvektoren ungleich 0 meiner nicht-transponierten Matrix sind die Basisvektoren des Bildes? Dann könnte ich die Basis nämlich direkt aus der Matrix ablesen, die ich ja oben schon benutzt habe um den Kern zu bestimmen.

Und noch eine Frage: Die Basis des Bildes ist ja nicht eindeutig. Wenn man es dann also mit der Methode macht, die der TE als vorgegebene Lösungsmethode (wir schauen welcher Vektor sich durch die anderen beiden darstellen lassen kann) nimmt, dann hätte man auch auf das Ergebnis kommen können, dass die Basis aus den beiden erstgenannten (ich glaube (2,6,8)T und (3,6,9)T) Vektoren besteht, oder?
Oldepied

Oldepied aktiv_icon

17:09 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Danke kenkyu sehr ausführlich und anhand des Beispiels eine einfach zu vollstehende rechnung die in der sollte eine derartige aufgabe drankommen mir hoffentlich einfache Punkte bringt.

Eine frage habe ich abschließend lasse das dann aber noch offen für die Fragen von Shadowhunter123.

ich hab bei verschiedenen aufgaben jetzt gelesen das man einmal das Bild von A bestimmen soll und dann wiederrum steht dann dort Basis des Bildes von A wo genau legt dort der unterschied?
Antwort
anonymous

anonymous

18:07 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Zur Frage von Oldepied:

Die Basis eines Vektorraums ist ein (minimales) Erzeugendensystem des Vektorraums.
Das heißt jeder Vektor des Vektorraums lässt sich eindeutig als Linerkombination der Basisvektoren darstellen und umgekehrt ergibt jede Linearkobination der Basisvektoren einen Vektor des Vektorraums.

Kennt man also die Basis, so kennt man den Vektorraum.
Jedoch besteht die Basis nur aus einigen wenigen Vektoren des Vektorraums, den Basisvektoren. Deshalb ist eine Basis ja so eine tolle Sache.

In diesem Fall ist das Bild von A der Vektorraum, der von der Basis des Bildes von A aufgespannt wird.

So ist die Menge B:={(134),(011)} eine Basis des Bildes.
Das Bild wird davon aufgespannt und ist
span(B)={t1(134)+t2(011)|t1,t2K}

Beantwortet das deine Frage?


Zur Frage von Shadowhunter123:

Wenn du den Gauß anwendest, ohne zuvor zu transponieren begehst du einen Fehler. Dann veränderts du nämlich den Spaltenraum, welcher gleich dem Bild der Matrix ist, und lässt dafür den Zeilenraum unverändert. Das bewirkt also, dass die neu entstandene Matrix ein anderes Bild hat, dafür aber (nebenbei bemerkt) weiterhin den gleiche Kern besitzt.
Denn die Spalten der Matrix, nicht die Zeilen der Matrix, spannen das Bild auf.

Man kann auch einfach ein Gegebeispiel konstruieren:

Betrachte die Matrix:
M=(12)

Offensichtlich gilt:
im(M)={t(12)|tK}

Wendest du den Gauß ohne Transposition an, so erhält man jedoch:
(10)

Davon sind weder die Zeilen (1) und (0) noch die Spalte (10) im Bild.


Und zu deiner anderen Frage:
Ja, auch {(268),(369)} ist "eine" Basis des Bildes von A.
Besser ist es, da es in der Regel mehrere gibt, von "einer", statt von "der" Basis zu sprechen. Wobei ich das selbst manchmal ein wenig vernachlässige, da man manchmal irgendie automatisch den bestimmten Artikel verwendet, wenn man nicht aufpasst.
Antwort
Shadowhunter123

Shadowhunter123

19:55 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Danke für deinen Beitrag! Habe mir schon gedacht, dass ich es mir zu leicht gemacht habe, als ich die Zeilenvektoren der Matrix einfach als Spaltenvektoren des Bildes deklariert habe.

Jetzt ist mir vieles klarer.
Nochmal zusammengefasst:
Wenn ich also den Kern bestimmen will, einfach Gauß auf die bestehende Matrix anwenden und gucken für welche Vektoren der Nullvektor entsteht.
Wenn ich das Bild bestimmen will, die Ausgangsmatrix transponieren, dann Gauß und die am Ende entstehenden/übrig-bleibenden Spaltenvektoren verschieden vom Nullvektor spannen den Vektorraum des Bildes auf.
Antwort
anonymous

anonymous

20:21 Uhr, 18.08.2013

Antworten
Fast. Beim Bild sind nicht direkt nach dem Gaußen die Spalten die Basis, sondern man erhält diese Zeilen. Dir fehlt also bei deiner Beschreibung der Vorgehensweise nach dem Gaußen noch eine Transposition.

Wenn du mal schaust habe ich bei der Aufgabe (134) und (011) erhalten, nicht (100),(310) und (410).

Ansonsten ist alles richtig.
Frage beantwortet
Oldepied

Oldepied aktiv_icon

21:35 Uhr, 18.08.2013

Antworten
danke vielmals alle meine fragen beantwortet
Antwort
prodomo

prodomo aktiv_icon

14:55 Uhr, 19.08.2013

Antworten
Noch ein kleiner Hinweis für oldepied:
die Eigenschaft III-II =I bei den Matrixzeilen ist keineswegs ein Sonderfall, sondern so oder ähnlich klappt es mit jeder linearen Abbildung, deren Kern nicht gleich 0 ist. Dazu muss nämlich in der Matrix mindestens eine Zeile nur aus Nullen bestehen, damit das System unterbestimmt ist. Insofern kannst du diese Abhängigkeit dann auch auf die Komponenten eines allgemeinen Bildvektors übertragen.
Eigentlich hättest du selbst darauf kommen müssen, dass deine Musterlösung nur eine Möglichkeit sein kann....
Antwort
Shadowhunter123

Shadowhunter123

03:10 Uhr, 21.08.2013

Antworten
Auch ich habe noch eine Frage.

Ich habe einmal Aufgaben, bei denen ich die Basis des Bildes bestimmen soll, und dann habe ich welche, in der ich "die Basis des Vektorraums" bestimmen soll.

Nun gibt es ja den Satz, dass ein n-dimensionaler VR immer durch genau n lin.-unabhängige Vektoren aufgespannt wird (bzw. den Satz, dass n+1 Vektoren im KK^n immer lin.-abhängig sind und weniger als n Vektoren im KK^n kein Erzeugendensystem für den KK^n bilden). Wenn ich nun eine Basis des 4 suche und 5 Vektoren habe, ist die Durchführung doch genau die selbe wie bei der Bestimmung des Basis des Bildes einer Abbildung, oder?

Das heißt: Gegebene Vektoren als Zeilen in eine Matrix schreiben, transponieren, Gauß, und die übrig-bleibenden Nicht-Null-Zeilen sind linear unabhängige Vektoren, d.h. sie spannen meine Basis im 4 auf. Sehe ich das richtig?

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass dadurch, dass hier die Verfahren gleich sind, auch 'die Ergebnisse' irgendwie gleich sein müssen. Ich meine: Ob ich jetzt eine Abbildungsmatrix habe und das oben-beschriebene Verfahren darauf anwende oder ob ich 5 Vektoren habe und daraus eine Matrix bastle, ist doch letztlich egal. Daher meine Frage: Hat die Basis des Bildes der Matrix irgendwas mit der Basis des Vektorraums zu tun?
Fakt ist: Die Basis des Bildes einer Matrix spannt einen Untervektorraum in der Zielmenge auf. Bestimme ich, wenn ich das Verfahren auf 5 Vektoren anwende, nicht auch so etwas wie einen Untervektorraum in der Zielmenge? Wenn ich dann von den 5 Vektoren einen rausstreichen kann und nur 4 übrig bleiben, habe ich 4 linear unabhängige Vektoren die einen Untervektorraum in der Zielmenge aufspannen. Und dann ist die Basis dieses Untervektorraum (die aus diesen 4 lin.-unabhängigen Vektoren erzeugt wird) doch gerade die Basis des Vektorraums, der berechnete Untervektorraum also gerade der Vektorraum.
Ich glaube, ich habe mir die Antwort nun selbst gegeben. Ist das Quatsch, der hier steht, oder stimmt meine Argumentation?

Antwort
anonymous

anonymous

16:18 Uhr, 21.08.2013

Antworten
Das was du schreibst ist durchaus richtig, allerdings sind mir da zwei Dinge aufgefallen:

1. Du verwendest zu oft den bestimmten Artikel. Meistens wäre es korrekter "eine" Basis statt "die" Basis zu schreiben. Wobei das jetzt nicht sooo schlimm ist und das vielen anderen (auch mir) immer wieder passiert.

2. Die 5 Vektoren müssen ein Erzugendensystem bilden. Ist dies nicht der Fall, so funktioniert das natürlich nicht. Ein Beispiel:

(10),(-10),(20) sind drei Vektoren im 2, bilden jedoch kein Erzeugendensystem, weshalb man hier, wendet man das Verfahren an, nur einen Vektor erhält. Es würde dann noch ein zweiter Basisvektor fehlen.


Ansonsten kann man das Verfahren auch anwenden um aus einem beliebigen Erzeugendensystem (welches beispielsweise aus fünf Vektoren im 4 besteht) eine Basis (im Beispiel bestehend aus vier Vektoren im 4) zu berechnen.

Noch allgemeiner lässt sich sagen:
Das Verfahren kann aus einer Menge {v1,...,vn}V (dabei sei V ein Vektorraum) eine Menge {w1,...,wm}V berechnen, so dass {w1,...,wm} linear unabhängig ist und span({v1,...,vn})=span({w1,...,wm}) gilt.