Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bild von g?

Bild von g?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

kerox75 aktiv_icon

16:54 Uhr, 16.11.2020

Hallo ich habe eine Frage ich verstehe nicht was und wie ich es machen soll.

f (x) = ln (\frac{x}{1 - x}) g (y) = \frac{e^{y}}{1 + e^{y}}

a)

Bestimme den größtmöglichen Definitionsbereich

D

⊂

R

von

f

b)

Bestimme für

D = R

das Bild von

g

c)

Berechne die Verkettungen

h 1 (y) = f (g (y))

und

h 2 = g (f (x));

was bedeutet das Ergebnis für die Beziehung von

f

und g?

den Definitionsbereich habe ich versucht zu bestimmen. Wenn man für

x = 1

dann ist ja unter dem bruchstrich eine 0 und das ist dann ja undefiniert also ist der Definitionsbereich doch alle Seelen zahlen bis auf

- 1

.
Bei

b

bin ich mir unsicher weil ich denke dass ich die umkehrfuntion bilden muss aber nicht weiss wie genau ich das machen kann( bn schlecht im Umformen)

c

kann ich garnicht lösen weil ich das zu schwierig finde, also da kommt bei mir eine ganz komische Verkettung raus und ich weiss nicht wie ich mit der

1 \in f (x)

umgehen soll

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

17:21 Uhr, 16.11.2020

"den Definitionsbereich habe ich versucht zu bestimmen. Wenn man für x=1 dann ist ja unter dem bruchstrich eine 0 und das ist dann ja undefiniert also ist der Definitionsbereich doch alle Seelen zahlen bis auf −1."

Nein. Log ist nur für positive Zahlen definiert.
Also muss

\frac{x}{1 - x} > 0

gelten. Diese Ungleichung musst du lösen.

"Bei b bin ich mir unsicher weil ich denke dass ich die umkehrfuntion bilden muss aber nicht weiss wie genau ich das machen kann( bn schlecht im Umformen)"

Nein, brauchst du keine Umkehrfunktion hier.
Es gilt offensichtlich

0 < \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} < 1

. Und da

e^{y} \to 0

bei

y \to - \infty

und

e^{y} \to \infty

bei

y \to \infty

, hat man ganz

(0, 1)

als Bild.

"c kann ich garnicht lösen weil ich das zu schwierig finde, also da kommt bei mir eine ganz komische Verkettung raus und ich weiss nicht wie ich mit der 1∈f(x) umgehen soll"

Was ist komisch an den Verkettungen?

Z.B.

g (f (x)) = \frac{e^{f (x)}}{1 + e^{f (x)}} = \frac{e^{\ln (x / (1 - x))}}{1 + e^{\ln (x / (1 - x))}} = \frac{x / (1 - x)}{1 + x / (1 - x)} = \frac{x / (1 - x)}{1 / (1 - x)} = x

kerox75 aktiv_icon

22:10 Uhr, 16.11.2020

Danke für die schnelle Antwort nur wenn es offensichtlich wäre würde ich nicht fragen und ich verstehe nicht warum es denn so offensichtlich ist dass das zwischen 0 und 1 liegt also bei aufgäbe b ?
Kann das jemand auf ganz einfacher Basis erklären oder zumindest so dass man es versteht wenn man sich nicht ausgesucht hat Mathematik zu machen

DrBoogie aktiv_icon

22:15 Uhr, 16.11.2020

"Danke für die schnelle Antwort nur wenn es offensichtlich wäre würde ich nicht fragen und ich verstehe nicht warum es denn so offensichtlich ist dass das zwischen 0 und 1 liegt also bei aufgäbe b ?"

e^{y} > 0

für alle

y

. Das ist eine Basis-Eigenschaft dieser Funktion.
Deshalb gilt

1 + e^{y} > 0

.
Wenn man zwei positive Zahlen

a

und

b

hat und den Bruch

a / b

bildet, ist er auch positiv. Also,

\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} > 0

.

Auf der anderen Seite ist

e^{y} < 1 + e^{y}

. Daraus folgt

\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} < 1

. Man teilt halt eine Zahl durch eine größere. Das Ergebnis ist natürlich

< 1

.

"Kann das jemand auf ganz einfacher Basis erklären oder zumindest so dass man es versteht wenn man sich nicht ausgesucht hat Mathematik zu machen"

Nicht ausgesucht? Die Aufgabe ist aber relativ anspruchsvoll für einen Fachbereich, der mit Mathe nichts zu tun hat. Was studierst du denn?

michaL aktiv_icon

22:28 Uhr, 16.11.2020

Hallo,

> Was studierst du denn?

Und bei weitem relevanter: Wer zwingt dich dazu?

Mfg Michael

kerox75 aktiv_icon

22:57 Uhr, 16.11.2020

Naja ich verstehe es so einigermaßen, danke für die Erklärung!

Ich studiere Biowissenschaften und das ist meine 3. Vorlesung in Mathe und ich bin absolut nicht gut in Mathe, weswegen ich mich damit auch schwer tue. Es ist halt alles online und man hat keinen Lehrer der es einfach relativ anschaulich erklärt sodass man es dann auch üben kann.

Mich zwingt keiner zu diesem studium, aber das macht die Mathematik für. ich jetzt nicht einfacher oder interessanter.

DrBoogie aktiv_icon

08:51 Uhr, 17.11.2020

"Ich studiere Biowissenschaften und das ist meine 3. Vorlesung in Mathe und ich bin absolut nicht gut in Mathe, weswegen ich mich damit auch schwer tue. Es ist halt alles online und man hat keinen Lehrer der es einfach relativ anschaulich erklärt sodass man es dann auch üben kann."

Die meisten Professoren können es auch im "normalen" Unterricht nicht anschaulich erklären. Manche gar nicht. Professoren sind halt keine Lehrer, sie kennen sich oft weder mit Didaktik noch mit Methodik aus. Denn in Deutschland wird derjenige Professor, wer brav publiziert und nicht wer erklären kann.

"Mich zwingt keiner zu diesem studium, aber das macht die Mathematik für. ich jetzt nicht einfacher oder interessanter."

Das ist schade, denn Mathe ist sehr geil. :-)
Und übrigens, seriös Biowissenschaften ohne Mathe zu betreiben ist ziemlich aussichtslos.

Zurück zum Thema - wenn du immer noch Fragen hast, dann frag einfach. Wir werden es dir schon beibringen. ;-)

kerox75 aktiv_icon

18:42 Uhr, 19.11.2020

Hallo, ich melde mich wieder.
Die Funktion f(t) = C exp(−λt) mit Rate λ > 0 und C > 0, t ≥ 0 beschreibt einen Zerfallsprozess.
a) Bestimme die Zeit t1/2, so dass der initiale Wert f(0) auf die Hälfte abgefallen ist.
b) Bestimme von dieser Zeit t1/2 ausgehend die Zeit t&lowast;, zu der f(t1/2) auf die Hälfte abgefallen
ist.
c) Stelle eine Vermutung über einen allgemeinen Zusammenhang auf. Wie hilft dieser Zu- sammenhang dabei, den Graph der Funktion zu skizzieren?

DrBoogie aktiv_icon

19:48 Uhr, 19.11.2020

a) Wir haben

f (t_{1 / 2}) = C e^{- λ t_{1 / 2}} = 0.5 f (0) = 0.5 C

. Durch

C

gekürzt ergibt sich

e^{- λ t_{1 / 2}} = 0.5

. Anwendung von

\ln

auf beide Seiten =>

- λ t_{1 / 2} = \ln (0.5) = - \ln (2)

t_{1 / 2} = \ln (2) / λ

b) ähnlich zu a):

f (t_{1 / 4}) = C e^{- λ t_{1 / 4}} = 0.5 f (t_{1 / 2}) = 0.25 f (0) = 0.25 C

e^{- λ t_{1 / 4}} = 0.25

. Anwendung von

\ln

auf beide Seiten =>

- λ t_{1 / 4} = \ln (0.25) = - \ln (4)

t_{1 / 4} = \ln (4) / λ

c) allgemein gilt

t_{1 / n} = \ln (n) / λ

Es ist übrigens recht gut in Wikipedia beschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Halbwertszeit

kerox75 aktiv_icon

19:59 Uhr, 19.11.2020

Danke dr. Boogie!

Hast du tipps, wie man das versteht? Also ein gutes buch oder eine gute website wo man die Wege gezeigt bekommt und versteht. So aus dem Abi Grundkurs 5 in sowas ist frustrierend und extrem demotivierend vor allem wenn da keiner ist der es einem ausführlich erklärt

DrBoogie aktiv_icon

20:26 Uhr, 19.11.2020

Was genau versteht?
Halbwertszeit?
Es gibt viele Erklärungen auf Youtube z.B.

Aber eigentlich ist dies ganz einfach. Stell dir vor, du hast 1024 Atome und in einer Minute zerfällt die Hälfte davon. Dann hast du nach einer Minute 512, nach zwei Minuten 256 usw. Als Gesetz ist das dann

N (k) = 1024 \cdot 0 . 5^{k}

, wie du selbst leicht nachprüfen kannst (

k

die Anzahl der vergangenen Minuten und

N (k)

die Anzahl verbliebenen Atome).
Nun, mit

0 . 5^{k}

ist nicht immer bequem zu rechnen. Daher nutzt man die Form

N (k) = C e^{λ k}

, die auf den ersten Blick viel komplizierter aussieht, aber wie gesagt, andere Vorteile hat, auf die ich hier nicht genauer eingehen will.
Und zu dieser Form zu gelangen ist ganz einfach, denn

0.5 = e^{- \ln (2)}

, daher ist

1024 \cdot 0 . 5^{k}

dasselbe wie

1024 \cdot e^{- \ln (2) k}

.

Eine Frage kann hier sein, warum schreibt man dann

C e^{- λ k}

und nicht einfach

e^{- \ln (2) k}

. Das kommt daher, dass ich Einfachheit halber angenommen habe, dass jede Minute nur die Hälfte bleibt, also dass eine Minute genau die Halbwertszeit ist. Aber natürlich muss es nicht so sein, es kann auch

1.2545345

Minuten oder was auch immer sein. Deshalb bekommt man allgemein nicht die Form mit

e^{- \ln (2) k}

, sondern die Form

e^{- λ k}

kerox75 aktiv_icon

20:34 Uhr, 19.11.2020

wow okay das war wirklich verständlich, danke!
Ich meine allgemein in Mathe. Ich finde es ziemlich schwierig immer so viel Input zu bekommen, der dazu noch so ,,hoch``ist zumindest vom Niveau und dann nichts liefern zu können. ich würde das alles gerne können und wäre auch bereit den zu arbeiten aber dazu bräuchte ich halt ein gutes Lernmaterial, was ausführlich Wege schildert, sie erklärt und veranschaulicht. Viele würden jetzt damit argumentieren, dass die Jugend von heute immer fauler wird und nichts mehr selber macht, die leichtesten Aufgaben nicht mehr rechnen kann und das mag ja auch sein aber das liegt zum Großteil an der Schule, wo man einfach lernt, dass es so ist ohne es zu verstehen. Und wenn man dann plötzlich das theoretische anwenden muss und das impliziert, es gut verstanden zu haben, ist einfach nicht möglich, das geforderte zu erfüllen.

Kennst du eine gute Software oder eine gute Seite, mit der man üben kann zb. Terme umformen, Funktionen lösen, etc.....?

Und danke, dass du dir die Zeit nimmst, die Aufgaben durchzulesen, zu lösen und zu erklären !

DrBoogie aktiv_icon

20:52 Uhr, 19.11.2020

"Viele würden jetzt damit argumentieren, dass die Jugend von heute immer fauler wird und nichts mehr selber macht"

Das ist Blödsinn. Faul waren Menschen schon immer. :-)

Das Problem mit Mathematik ist aus meiner Sicht, dass man dafür wirklich viel Zeit braucht. Einer der größten Mathematiker der letzten 100 Jahre Sir Michael Atiya hat mal gesagt: Mathe kann man nicht verstehen, man kann sich nur an sie gewöhnen. :-)
Und an dem Spruch ist viel dran. Und diese "Gewöhnungszeit" können sogar die genialsten Mathematiker nicht beliebig verkürzen.
Ich selbst vergleiche Mathe gerne mit dem Spiel auf einem Musikistrument - das geht auch nicht von heute auf morgen.
Kurzum, was man in der Schule verpasst hat (woran man meistens auch keine Schuld trägt), kann man nicht schnell nachholen, das erfordert viel Zeit und Geduld.
Eigentlich wären dafür Vorbereitungskurse gut - nicht paar Wochen, wie man das in Deutschland macht. Sondern mindestens ein Jahr oder gar zwei, wie das in Frankreich gemacht wird. Denn direkt von der Schule an die Uni zu gehen ist zumindest in Sachen Mathe echt hart.

So, konkret weiß leider ich keinen Ersatz für solche Vorbereitungskurse. Es gibt zwar gute Wissensquellen wie z.B. mathepedia.de, aber sie können diese Rolle nicht wirklich erfüllen. Vor allem für "technische Fertigkeiten" wie Terme umformen, klassische Mathe-Tricks und Ähnliches kenne ich keine Quelle, wo sie gebündelt vorliegen. Ich wollte deshalb sogar selbst ein Buch darüber schreiben, leider bis jetzt nicht dazu gekommen. :(

Deshalb denke ich, dass du einfach vereinzelt nach Wissen wirst suchen müssen. Eine gute Adresse ist dafür z.B. matheplanet.com/.

kerox75 aktiv_icon

12:56 Uhr, 20.11.2020

Dankeschön für die Websites!

Das mit dem Buch ist eine wirklich gute Idee und viele wirklich viele wären dir dankbar, zumindest ich. Mathe ist ja interessant und sehr vielseitig aber eben auch sehr komplex, was einem schnell die lust nimmt....

kerox75 aktiv_icon

12:56 Uhr, 20.11.2020

kerox75 aktiv_icon

12:56 Uhr, 20.11.2020

kerox75 aktiv_icon

12:56 Uhr, 20.11.2020

1518316

1517603

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?