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Bild von g o f Berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: berechnen, Bild, Funktion, Funktionsterm, injektiv, surjektiv, urbild, Verkettung

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16:46 Uhr, 14.02.2012

Ich soll das Bild von

(g o f)

berechnen. Leider hab ich keine Ahnung, was damit gemeint ist.

Angenommen, ich hätte

f (x) = 2 x

. Dann wäre bei

f (5) = 10

doch 5 das Urbild und

10

das Bild?

(g o f)

hab ich schon aus den angegebenen Funktionen berechnet.

(g o f) = - x \cdot y - 1

Ich hab mir schon gedacht, dass ich das als Urbild irgendwo einsetze, damit das Bild rauskommt. Aber wo? In g? In f?

Bin dankbar für jede HIlfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

17:19 Uhr, 14.02.2012

Das Bild einer Abbildung insgesamt ist die Menge aller Werte, die man tatsächlich durch Einsetzen zulässiger Argumente erhalten kann.

Beispielsweise ist das Bild der Abbildung

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2}

nicht ganz

ℝ

(das nennt sich Wetrebereich oder Zielbereich), sondern lediglich

ℝ_{\geq 0}

.
Wenn bei dir insgesamt

g \circ f : ℝ^{2} \to ℝ

durch

- x \cdot y - 1

gegeben ist (und tatsächlich ganz

ℝ^{2}

als Definitionsbereich angegeben ist),dann ist das Bild offenbar ganz

ℝ,

denn zu jedem

z \in ℝ

kannst du leicht (mindestens) ein Paar

(x, y) \in ℝ^{2}

finden mit

g (f (x, y)) = z,

beispielsweise

(x, y) = (- 1, z + 1)

Suppengruen aktiv_icon

17:35 Uhr, 14.02.2012

g o f :

N²--->Z

Da man nur natürliche Zahlen einsetzen darf, kann man keine Werte aus

Z +

erhalten. Aber

- 1

kann man

z . B

. auch nicht erhalten...

Wie ist das dann mit dem Bild?

hagman aktiv_icon

17:39 Uhr, 14.02.2012

Aha.
Wegen

x \geq 1

udn

y \geq 1

ist stes auch

x \cdot y \geq 1,

somit

- x \cdot y - 1 \leq - 1 - 1 = - 2

.
Umgekehrt kann man zu beliebigem

z \in ℤ

mit

z \leq - 2

die Wahl

x = 1, y = - z - 1

treffen (da ja

- z - 1 \geq 2 - 1 = 1),

somit ist das Bild fon

g \circ f

genau

{z \in ℤ | z \leq - 2}

Suppengruen aktiv_icon

18:04 Uhr, 14.02.2012

Danke!

Heißt das dann nicht, dass

(g o f)

nicht surjektiv ist? Wenn gar nicht alle Werte aus

Z

getroffen werden, sondern nur kleiner gleich

- 2

?

Dachte bis eben nämlich eigentlich noch, dass ich bewiesen hätte, dass

(g o f)

surjektiv ist:

Für alle a aus

Z

gibt es ein

x

aus N²

: f (x) = a

f (x) = f (\frac{- a - 1}{y}) = - (\frac{- a - 1}{y}) \cdot y - 1 = (\frac{a + 1}{y}) \cdot y - 1 = a + 1 - 1 = a

Ist das falsch?

pwmeyer aktiv_icon

11:05 Uhr, 15.02.2012

Hallo,

da geht noch etwas durcheinander: Du schreibst,

(g o f)

sei surjektiv, aber rechnest mit f? Vielleicht schreibst Du doch mal die Definition von

f

und

g

auf mit ihrem jeweiligen Definitionsbereich.

Gruß pwm

Suppengruen aktiv_icon

12:03 Uhr, 15.02.2012

Da hab ich mich wohl verschrieben. Wenn

g (f (x))

statt

f (x)

steht, sollte es eigentlich richtig sein.

f :

N²--->Z³ mit

f (x, y) = (x - 1, 1 - y, x + y)

g :

Z³--->Z mit

g (x, y, z) = x \cdot y - z

pwmeyer aktiv_icon

12:44 Uhr, 15.02.2012

Dann ist es eben nicht richtig.

Wenn es um die Surjektivität von

(g o f)

geht, dann muss Du zu gegebenem a ein Paar

(s, t) \in ℕ^{2}

finden, so dass:

a = (g o f) (s, t) = - s \cdot t - 1

und das geht eben nicht für

a \geq - 1

.

Gruß pwm

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13:23 Uhr, 15.02.2012

Stimmt. Du hast Recht.

Aber warum kam dann in meiner Rechnung als Ergebnis a raus? Kannst du mir sagen, wo da der Fehler ist?

pwmeyer aktiv_icon

14:15 Uhr, 15.02.2012

Was Du aufgeschrieben hast entspricht einfach nicht der Definition von (gof).

gruß pwm

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