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Bilden Vektoren ein EZS, Linearkombination, Basis?

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, Erzeugendensystem, Linearkombination von Vektoren, Vektor

MeinNick

10:44 Uhr, 10.02.2015

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, die habe ich auch gelöst, weiß aber nicht ob das so korrekt ist.
Könnte mal jemand drüber gucken?

Aufgabe:

1. Bilden die Vektoren

a_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})

und

a_{2} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

und

a_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

des

ℝ^{2}

ein EZS?
2. Wenn ja, wie lassen sich beliebige Vektoren

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \in ℝ^{2}

als Linearkombiation darstellen?
3. Bilden die Vektoren auch eine Basis?

Schritt 1:
Als erstes prüfe ich, ob

E \subseteq V

ist.

\to

Ist es offensichtlich.

Schritt 2:

Dimension des

ℝ^{2}

ist

= 2

also Dim(V)

= 2

Matrix der Vektoren aufstellen und in Zeilenstufenform bringen.

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix}]

also

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 9 & 3 \end{matrix}]

Hieran kann ich ablesen, dass der Rang(a)

= 2

ist.

Rang(A)

= 2 =

Dim(V)

- \to

Es liegt ein EZS vor.

Schritt 3:

Da der Rang(A)

= 2

ist, die Anzahl der Vektoren jedoch

3,

sind die Vektoren nicht linear unabhängig somit ist

E

auch keine Basis.

Ist das soweit korrekt?
Wenn ja kommt nun Frage 2 mit der Linearkombination. Ich komme nicht drauf, wie ich das nun ausrechnen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Respon

11:24 Uhr, 10.02.2015

3 Vektoren in

ℝ^{2}

sind immer linear abhängig.

MeinNick

08:35 Uhr, 12.02.2015

Okay, das macht sinn.

Also können einen Gruppe von

X

Vektoren nie die Basis sein, wenn die Anzahl von

X

größer der Dimension des Vektorraumes ist, kann man das so sagen?

Und kommen wir nochmal zur Linearkombination, wie soll das funktionieren?

Wie kann ich eine "allgemeingültige" Linearkombination schreiben?
Sollte ja grob so aussehen, kann mir das jemand erklären oder zumindest das Ergebnis ausrechnen?

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) =

(\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) +

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) +

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Mathe45

08:55 Uhr, 12.02.2015

Die formale Lösung führt wieder zu einem LGS und sieht

z . B

. so aus:
Seit

t

ein frei gewählter Parameter mit

t \in ℝ

Eine mögliche Darstellung sieht dann so aus:

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{a - t}{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{1}{6} \cdot (- a + 2 \cdot b - 9 \cdot t) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Bummerang

09:08 Uhr, 12.02.2015

Hallo,

"Also können einen Gruppe von

X

Vektoren nie die Basis sein, wenn die Anzahl von

X

größer der Dimension des Vektorraumes ist, kann man das so sagen?"

Das muss man sogar genau so sagen!

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Aus Deiner Rangbetrachtung hast Du ja schon festgestellt, dass die ersten beiden Vektoren ein Dreieck bilden. Wären nur diese beiden Vektoren gegeben gewesen

(A

wäre eine Spalte kürzer) hätte der selbe Test zur selben (um die letzte Spalte reduzierte Matrix) geführt und Du hättest 2 Vektoren gehabt, die ein Erzeugendensystem bilden. Man kann also bereits alle Vektoren als Linearkombination der ersten zwei Vektoren darstellen, deshalb ist es vollkommen unschädlich, wenn wir den Koeffizienten

t

für den dritten Vektor einfach als Null festlegen:

t = 0

Dann verbleibt:

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Selber Gauss-Schritt wie oben:

(\begin{matrix} a \\ b - 5 \cdot a \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 9 \end{matrix})

Das ergibt:

b - 5 \cdot a = - 9 \cdot s

s = - \frac{b - 5 \cdot a}{9} = \frac{5 \cdot a - b}{9}

Eingesetzt in die erste Zeile:

a = r + 2 \cdot s

r = a - 2 \cdot s

r = a - 2 \cdot \frac{5 \cdot a - b}{9} = \frac{9 \cdot a}{9} - \frac{10 \cdot a - 2 \cdot b}{9} = \frac{- a + 2 \cdot b}{9} = \frac{2 \cdot b - a}{9}

Damit ergibt sich:

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = \frac{2 \cdot b - a}{9} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{5 \cdot a - b}{9} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + 0 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Tipp:

Die Matrix A hat bereits eine Zeilenstufenform! Nutze die Null rechts oben. Dann ist das Dreieck mit den Nullen eben oberhalb der "Diagonalen", die rechts unten beginnt. Daraus kann man dann ablesen, dass die letzten beiden Vektoren ein Erzeugendensystem bilden. Die Rechnung dafür sieht dann so aus:

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Die letzten beiden Vektoren bilden ein Erzeugendensystem

\Rightarrow

setze

r = 0

\Rightarrow

reduzierte Linearkombination:

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Aus der ersten Zeile ergibt sich:

a = 2 \cdot s

s = \frac{a}{2}

Eingesetzt in zweite Zeile:

b = s + 3 \cdot t

3 \cdot t = b - s

t = \frac{b - s}{3} = \frac{b - \frac{a}{2}}{3} = \frac{2 \cdot b - a}{6}

\Rightarrow (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = 0 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{a}{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{2 \cdot b - a}{6} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Du siehst: Wesentlich weniger Rechenaufwand, wesentlich einfacher aussehendes Ergebnis! Das spart in Klausuren die Zeit, die man für andere Aufgaben noch benötigt!

Mathe45

10:02 Uhr, 12.02.2015

Noch eine kurze Ergänzung.
Das von mir oben angesprochene LGS hat die Systemmatrix

(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 3 \end{matrix})

und die erweiterte Systemmatrix

(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & a \\ 5 & 1 & 3 & b \end{matrix})

.
Da beide Matrizen den Rang 2 haben, gilt also bei 3 unbekannten Faktoren

(n = 3) :

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