Bilden der n-ten Ableitung einer Funktion?

Hallo liebes Forum;),

langsam geht es auf die Klausuren zu deshalb muss ich eure Hilfe abermals in Anspruch nehmen habe folgende aufgabe zu lösen:

Es gelte f (x) = g (x) h (x).
(a) Berechnen Sie die n-te Ableitung von f für n = 1, 2, 3, 4.

ich habe extra nur die a) gepostet da die darauffolgenden aufgaben darauf aufbauen also auf der n-ten ableitung...ich brauche hier mal einen ansatz wie ich die sache angehen kann beschäftige mich zum ersten mal mit dem thema ich weiß wie man ableitet und habe jetzt schon rausgefunden das es für die n-te ableitung die sogenannte taylor formel gibt.

ich weiß auch das ich das Taylerpolynom und das Restglied brauche und will jetz wissen ob ich die Formel auf meine Aufgabe anwenden kann und wie ich das dann mache;)

Oh entschuldige also hier nochmal die Formel:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Für mein Taylorpolynom T gilt:

${\displaystyle {\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\left(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

und Für mein Restglied R gilt:

${\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\int }_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}!}{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

ach und das f(x)= g(x) h(x) stimmt so atlantik....

würde gerne wissen ob ich das über die formel machen muss oder obs da nen anderen Trick gibt wäre nett wenn mir jemand einen ansatz geben könnte;)

Also ich versteh das mit der Taylorformel nicht, deshalb habe ich es mal auf ein anderen Weg probiert. Gibt ja immer viele Wege nach Rom :P Wichtig ist für mich der richtige Weg und der der am einfachsten ist...kann mir da nochmal einer von euch helfen?

Aufgabenstellung lautete:

a) soll ich die n-te Ableitung mit n=1,2,3,4 von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ berechnen.

Das bekomme ich noch mit der Produktregel hin.

b) allgemeine Formel für die n-te Ableitung von f:

Habe einwenig gegoogelt und bin auf diese Formel gestoßen:${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)*{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Wenn ich jetzt nach dieser Formel die 4. Ableitung berechne komme ich auf:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^4\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)*{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{4-0}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Wäre das korrekt? Oder habe ich was falsch gemacht?

Weiteres Problem wäre bei mir dann Aufgabe c): Berechnen Sie die ersten 4 Ableitungen von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ Wie soll ich diese Funktion mit der oberen Forml berechnen oder habt ihr da eine bessere Idee?

Die Ableitung von ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist immer ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Die Ableitung von sin(x)=cos(x). Die Ableitung von cos(x)=-sin(x). Die Ableitung von -sin(x)=-cos(x) und die Ableitung von -cos(x)=sin(x). Einfach die Formel verwenden. Aber mit Binomialkoeffizienten !

Binomialkoeffizienten ah ok, vergessen naja :D hab wohl eher nicht daran gedacht. Wo muss ich die denn einfügen? Bei den einzelnen Termen ist klar aber bei welchen und welche Höhe der n und k?

Die Ableitungen von ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ sind mir bekannt, aber danke konttest du ja nicht wissen ;)

Mein Frage sollte eher darauf zielen wie ich so eine Funktion mit Hilfe der allgemeinen Formel berechnen kann?!

Ok habe jetzt mal versucht die Binominalkoeffizienten einzusetzen und komm auf folgendes:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^4\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)*{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{4-0}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+4*\left({\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)+3*\left({\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)+4*\left({\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime }\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)+{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

aber genau das $3*\left({\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)$ ist doch falsch das müsste doch $6*\left({\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)$ sein oder nicht?

Irgendwie baue ich die Binominalkoeffizienten flasch ein oder?

Das ist ja mein Problem, versteh ja nicht wie ich mit 4 über 2 zur 6 komme?!

weiß das da ne Sechs sein muss aber wie baue ich die Binomialkoeffizienten genau ein?

Mit faktoriellen Rechnungen steh ich schon immer auf Kriegsfuss :D

Ich kapiers einfach nicht...rechnest du da mal, geteilt, plus oder minus mit n und k?

Ok langsam kommen wir dem Ergebnis näher:

Kapiere nur noch nicht wie du bei 4 über ${\displaystyle 0=\frac{4!}{0!.4!}=1}$

$\frac{4}{0*4}=\frac{4}{0}=\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}$ Das verstehe ich noch nicht?!

Ah ok... und $1!=1$ und $2!=1*2=2$ und $3!=1*2*3=6$ und so weiter,stimmt das?

4 über ${\displaystyle 1=\frac{4!}{1!.3!}=4}$ ist dann $\frac{24}{1*6}=4$

und $4\mathrm{ü<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2=\frac{4!}{2!*(2-4)}=\frac{24}{2*2}=6$ so kommt die 6 dahin? Richtig jetzt?

Vielen Dank, Pablomilanes hast mir sehr weiter geholfen!

Habs kapiert und funktioniert einwandfrei, habe es grad mal mit der c) probiert.

Nun bin ich aber an der Aufgabe d):

Berechnen Sie n-te Ableitung von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ für n=100,101,102,103,104

So wie berechne ich denn die 100ste Ableitung von sin(x)?

Gibts da nicht ein Trick? Denn wenn ich nicht ganz falsch liege und richtig denke ist die 100ste Ableitung von sin(x) = sin(x) oder nicht? Hab mir grad mal gedacht wenn ich mich 100mal im Kreis drehe stehe ich doch wieder an der selben Stelle :P

Die 100ste Ableitung von x² ergibt doch kein Sinn, nach dem 2. Mal Ableiten bleibt doch davon nichts mehr übrig oder?

hat keiner ein tipp?

Das habe ich mir schon gedacht, aber wie mache ich das bei der 100sten ABleitung von sin(x) ?

Ich weiß das die Ableitung von ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ dasselbe ist und so ist die Ableitungsfolge von cos(x): ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\Rightarrow {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\Rightarrow {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\Rightarrow {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\Rightarrow {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime \prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

d.h. ich steh nach 4 Schritten wieder am Anfang...also dreh ich mich doch ständig im Kreis also ist die 100ste Ableitung die selbe wie die Ausgangsformel, also ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{100}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ; die ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{101}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ; die ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{102}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und die ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{103}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Kann ich das denn so hinschreiben? Denn durch die Summenformel komm ich ja nicht an die 100ste Ableitung von cos(x)...war ja jetzt eine reine Logik denkweise. Gibts ne andere Möglichkeit oder bin ich sogar falsch?

Warum leitest du nicht schon gleich ab und erst später in deiner Grafik?

ok die Frage war unpräzise :D

Also du nimmst ja die allg. Formel: ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\begin{array}{c}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)*{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ bei der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit n=100,101,102,103 wenn ich dies also verbinde:

wäre die es ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{100}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{100}\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)*{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{100-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)*{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}^0*{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{100-0}=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)*2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{99}=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)*2*{-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{98}=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right){-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{97}=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right){\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{96}=\mathrm{...}}$

In deiner Grafik leitest du ja nicht gleich ab, sondern verpackst das unten nochmal in Umformungen, wieso machst du das? und wieso geht die Formel nicht weiter? normal müsste ich doch die Formel weiter ableiten:96,95,94,93...3,2,1,0 oder nicht?

Ups sollte auch so sein:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{100}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{100}\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)*{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}*{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{100-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}100\\ 0\end{array}\right)*{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}^0*{\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{100-0}+\left(\begin{array}{c}100\\ 1\end{array}\right)*2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{99}+\left(\begin{array}{c}100\\ 2\end{array}\right)*2*{-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{98}+\left(\begin{array}{c}100\\ 3\end{array}\right){-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{97}+\left(\begin{array}{c}100\\ 4\end{array}\right){\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^{96}+\mathrm{...}}$

In deiner Grafik leitest du ja nicht gleich ab, sondern verpackst das unten nochmal in Umformungen, wieso machst du das? und wieso geht die Formel nicht weiter? normal müsste ich doch die Formel weiter ableiten da es ja eine Summe ist:96.,95.,94.,93....3.,2.,1.,0. oder nicht?Darum geht es doch bei der Summenformel für die allgemeine nte Ableitung...